Velocidade média
Suponhamos que você olhe para fora, veja que está um lindo dia e decida sair para correr. Você amarrou os sapatos, abriu a porta da frente e começou a correr para o leste. Durante sua primeira hora, você corre 5 milhas em um ritmo constante. Durante as próximas duas horas, você corre 16 milhas em um novo ritmo constante. Você volta para casa e decide que deseja determinar, em média, o quão rápido você correu. Para descobrir isso, você precisará usar a fórmula para a velocidade média.
Fórmula de velocidade média
A fórmula da velocidade média :
velocidade média = (mudança na posição) / (mudança no tempo)
Se nos fosse dada uma função de posição, s ( t ), que forneceu a posição de um objeto no tempo t , então a velocidade média entre o tempo t sub 1 e t sub 2 é dada pela fórmula:
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Encontrar a velocidade média usando uma função de posição
Durante a primeira hora de sua corrida, sua distância de sua casa foi de 0 a 5, enquanto o tempo em horas foi de 0 a 1. Como a velocidade representa uma mudança no deslocamento dividido por uma mudança no tempo, sua velocidade média é igual a:
(5 – 0) / (1 – 0) = 5 milhas por hora
Durante as próximas duas horas, a distância de sua casa foi de 5 para 21 enquanto o tempo passou de 1 para 3. Portanto, sua velocidade média é igual a:
(21 – 5) / (3 – 1) = 8 milhas por hora
Ótimo! Essas respostas parecem corresponder à nossa intuição.
Agora vamos determinar sua velocidade média ao longo de toda a corrida. A distância em milhas de sua casa foi de 0 a 21, enquanto o tempo foi de 0 a 3. Portanto, sua velocidade média:
(21 – 0) / (3 – 0) = 7 milhas por hora
Nada mal!
Observe que esta não é a mesma resposta que obteríamos se tentássemos encontrar a média de nossas velocidades médias separadas, 5 milhas por hora e 8 milhas por hora. Isso teria nos dado:
(8 + 5) / 2 = 6,5 (o que não é a resposta certa)
Precisávamos levar em consideração que estávamos correndo a 8 milhas por hora por mais tempo do que a 5 milhas por hora.
Encontrando a velocidade média usando uma função de posição
Suponha que lhe foi dito que a posição da bola, s, em função do tempo, t, foi representada por:
s ( t ) = – t ^ 2 + 3 t + 5
Onde a distância está em pés e o tempo em segundos. Vamos encontrar a velocidade média da bola entre t = 1 e t = 4.
Usaremos nossa fórmula de velocidade média:
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Vamos começar a inserir nossas informações:
t sub 2 = 4 e t sub 1 = 1
E resolva para obter a velocidade média =
(s (4) – s (1)) / (4 – 1) =
(- (4) ^ 2 + 3 * 4 + 5) – (- (1) ^ 2 + 3 * 1 + 5)) / (4 – 1) =
(-16 + 12 + 5) – (-1 + 3 + 5)) / 3 = (1 – 7) / 3 = -6/3 = -2 pés por segundo
Interessante … temos um número negativo como resposta. Isso é possível? Sim, ele é!
Velocidades médias negativas
A velocidade leva em consideração a direção. Se estivermos nos movendo em uma direção «positiva», nossa velocidade será positiva; ao passo que, se estivermos nos movendo em uma ‘direção negativa’, nossa velocidade será negativa. Normalmente, dizemos que se um objeto está se movendo para cima, ele está viajando em uma direção positiva e, se estiver se movendo para baixo, está viajando em uma direção negativa. Portanto, nossa bola deve ter se movido para baixo, pois a velocidade média era negativa.
A velocidade média também pode ser zero! Vejamos nosso exemplo de execução. Se você correu 5 milhas para leste em uma hora e depois decidiu voltar e correr 5 milhas para oeste em duas horas, você está de volta em casa! Sua posição final é igual à sua posição inicial. Portanto, sua velocidade média ao longo das três horas é:
(0 – 0) / (3 – 0) = 0 milhas por hora
Resumo da lição
Lembre-se de que a velocidade média de um objeto é dada pela fórmula:
velocidade média = (mudança na posição) / (mudança no tempo)
Além disso, não se assuste se descobrir que a velocidade média é negativa ou zero. Essas respostas ainda fazem sentido!