Definição
Existem tantas quantidades que podem aumentar a uma taxa consistente. Se você definir o controle de cruzeiro do seu carro e começar a dirigir, você viajará um número consistente de milhas por hora, a cada hora. Se você economizar a mesma quantia de dinheiro todas as semanas, aumentará suas economias em uma quantia consistente. Se representarmos graficamente esses cenários, obtemos uma linha reta e, portanto, eles são chamados de equações lineares. No entanto, existem diferentes tipos de equações lineares. O que iremos investigar nesta lição é chamado de variação direta .
Na variação direta, duas quantidades, como tempo e distância, ou horas e pagamento, aumentam ou diminuem a uma taxa consistente. A taxa consistente de aumento ou diminuição também é chamada de constante de variação . Nesta lição, veremos três maneiras de apresentar variação direta, uma equação, uma tabela e um gráfico, por meio de alguns exemplos da vida real.
Exemplo de uma equação
Por exemplo, digamos que você queira economizar algum dinheiro para um feriado ou evento que está por vir. Você não tem dinheiro guardado para este evento no início, mas vai economizar $ 50 por semana durante 5 semanas.
Nessa equação, 50 será sua constante de variação, porque permanecerá o mesmo durante o tempo em que você estiver economizando seu dinheiro. Você sabe que, no final disso, terá $ 50 x 5, ou $ 250. Mas e se você quiser economizar por um período mais longo ou sabe que só pode economizar US $ 25 por semana? Poderíamos propor uma maneira mais geral de descrever o problema?
Podemos com uma equação:
valor economizado = (dólares) (semanas)
Em álgebra, é mais provável que usemos letras únicas como variáveis, então vamos reescrever a equação dessa maneira. Se a = a quantia economizada, d = o número de dólares ew = semanas, sua equação ficaria assim:
a = (d) (w)
Agora, depois de decidir quanto dinheiro você pode economizar por semana, você só precisa substituir os valores na equação. Por exemplo, se você pode economizar $ 50 por semana, quanto você pode economizar em 12 semanas? Para resolver a equação de variação direta, substituímos nos valores:
a = (50) (12)
Resolvendo esta equação, você verá que 50 x 12 = 600, então a = 600, o que significa que você economizará $ 600.
Agora, em vez de resolver para a , resolveremos para uma variável diferente, w . Digamos que você possa economizar $ 40 por semana. Quantas semanas serão necessárias para economizar $ 520 dólares?
Novamente, podemos substituir os valores que temos na equação de variação direta. O valor que você deseja economizar é $ 520 e o valor que você pode economizar por semana é $ 40, então sua equação ficaria assim:
520 = (40) (w)
Usando álgebra para resolver isso, vamos dividir ambos os lados por 40 para encontrar o valor de w :
w = 520/40
w = 13
Então, em 13 semanas, você economizará $ 520
Exemplo de uma mesa
Outra maneira de controlar suas economias é usando uma mesa. Nesta tabela, presumiremos que você economiza $ 50 por semana. Novamente, como essa é uma variação direta, assumiremos que você começa sem economizar dinheiro.
| Semana | Montante |
| 0 | 0 |
| 1 | $ 50 |
| 2 | $ 100 |
| 3 | $ 150 |
| 4 | $ 200 |
| 5 | $ 250 |
Aqui estão dois pontos-chave a serem observados sobre esta tabela:
- Quando você começar a economizar na semana 0, terá $ 0. Portanto, a primeira entrada da tabela é (0, 0). Isso será verdade em todas as tabelas de variação direta que você vir.
- A cada semana, o valor economizado aumenta em $ 50. Outra maneira de dizer isso seria ‘à medida que o número da semana aumenta em 1, a quantidade economizada aumenta em $ 50’. Isso é o que significa ‘aumentar ou diminuir a uma taxa consistente’. O $ 50 também é chamado de constante de variação , porque nos diz quanto a economia aumentará a cada semana.
Usando as informações da tabela acima e assumindo uma taxa consistente de aumento de $ 50 por semana, quanto dinheiro será economizado até a semana 20? Bem, se você continuar adicionando $ 50 à semana anterior, na semana 20 você chegará a $ 1.000.
Exemplo de um gráfico
Por fim, você pode representar como sua economia cresce usando um gráfico. Para fazer o gráfico, podemos traçar alguns dos pontos da tabela e conectá-los. Observe como o gráfico é uma linha; isso ocorre porque a variação direta é uma equação linear.
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Aqui estão duas coisas importantes a serem observadas sobre este gráfico:
- O gráfico passa pelo ponto (0, 0). Isso é verdade para todo gráfico de variação direta – ele deve passar pela origem.
- No gráfico, a escala do eixo x é de uns, mas a escala do eixo y é de 100s. Lembre-se de ter isso em mente se usar o gráfico para fazer previsões.
Usando todos os três métodos
Vamos dar uma olhada em outro exemplo e usar todos os três métodos.
Também podemos usar a variação direta para descobrir até onde você irá se viajar a uma determinada velocidade. Digamos que você comece de casa e viaje a uma velocidade constante de 60 km por hora. Novamente, 60 seria sua variação constante, então se você viajar por três horas na velocidade constante de 60 km por hora, você viajará:
(60) (3) = 180 km
Podemos escrever uma equação que generaliza isso:
distância = (velocidade) (tempo)
Freqüentemente, em matemática, a velocidade é referida como ‘taxa’, então nossa equação com as variáveis seria:
d = (r) (t)
Como fizemos anteriormente, também podemos descrever a distância percorrida com uma mesa. Como no exemplo anterior, a tabela conterá a entrada (0, 0)
| Horas | Distância |
| 0 | 0 |
| 1 | 60 |
| 2 | 120 |
| 3 | 180 |
| 4 | 240 |
| 5 | 300 |
Da mesma forma, podemos esboçar um gráfico traçando os pontos da tabela. As horas irão no eixo x, e a distância irá no eixo y. Observe que este gráfico passa pela origem (0, 0) e é uma linha.
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Como nota final, a maioria dos livros de matemática mostram a equação de variação direta como y = (k) (x) . Este tipo de notação de equação pode ser usado para qualquer equação de variação direta onde x é o valor de entrada, como número de horas ou semanas. A variável k é a constante de variação, como a quantidade de dinheiro economizada semanalmente ou a velocidade em quilômetros por hora. A variável y é a variável de saída, que em nossos exemplos foram a quantidade total salva e a distância total percorrida. Observe como essa equação tem duas quantidades que são multiplicadas para dar uma terceira quantidade e que nada é adicionado ou subtraído.
Resumo da lição
- A variação direta é um tipo especial de equação linear. Na variação direta, duas quantidades, como tempo e distância, ou horas e pagamento, aumentam ou diminuem a uma taxa consistente. A taxa consistente também é chamada de constante de variação.
- Podemos ver a variação direta usando uma tabela, um gráfico ou uma equação.
- Um gráfico de variação direta sempre será uma linha e sempre passará pelo ponto (0, 0).
- Uma equação de variação direta será semelhante a y = (k) (x) , onde x é o valor de entrada, k é a taxa consistente ey é o valor de saída.
- As aplicações da variação direta incluem a relação entre a distância percorrida e o tempo, d = (r) (t) , e o dinheiro economizado no tempo, a = (d) (w) .
Termos chave
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Variação direta – quando duas quantidades, como tempo e distância, ou horas e pagamento, aumentam ou diminuem a uma taxa consistente
Constante de variação – uma taxa consistente de aumento ou diminuição
Resultados de Aprendizagem
Quando a aula terminar, assegure-se de:
- Compilar instâncias hipotéticas de variação direta
- Identifique a constante de variação em uma equação de variação direta
- Calcule o total para uma instância de variação direta dada a constante de variação e a quantidade de tempo