Um exemplo de matriz
Cada matriz quadrada possui valores especiais chamados autovalores. Quem são esses? Bem, vamos começar fazendo o seguinte problema de multiplicação de matriz, onde estamos multiplicando uma matriz quadrada por um vetor.
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Tente fazer você mesmo antes de olhar para a solução abaixo.
Espero que você tenha o seguinte:
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O que você nota sobre o produto? Se você olhar de perto, você notará que é 3 vezes o vetor original. Na verdade, poderíamos escrever nossa solução assim:
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Isso nos diz que 3 é um autovalor, com o vetor original no problema de multiplicação sendo um autovetor.
Valores próprios e vetores próprios
Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor diferente de zero x tal que para algum número λ, temos o seguinte:
Ax = λ x
Chamamos λ de autovalor .
Então, em nosso exemplo na introdução, λ = 3,
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Observe que se x = cy , onde c é algum número, então
A ( cy ) = λ cy
cAy = λ cy
Ay = λ y
Portanto, todo múltiplo constante de um autovetor é um autovetor, o que significa que há um número infinito de autovetores, enquanto, como descobriremos mais tarde, há uma quantidade finita de autovalores. Cada autovalor terá seu próprio conjunto de autovetores.
Encontrando valores próprios e vetores próprios
Precisamos encontrar os autovalores para encontrar os autovetores. Para fazer isso, vamos manipular a equação Ax = λ x . Primeiro, observe que podemos subtrair λ x de ambos os lados, nos dando
Ax – λ x = 0
onde 0 representa o vetor zero ou o vetor coluna formado apenas por zeros.
Em seguida, queremos fatorar x no lado esquerdo da equação, mas, para isso, precisamos cuidar de dois detalhes importantes. Primeiro, observe que se fatorarmos x sem ser cuidadosos, obtemos A – λ, o que é problemático. Isso é um problema, pois não podemos subtrair um número de uma matriz; só podemos subtrair uma matriz do mesmo tamanho.
Portanto, vamos reescrever x como Ix . Podemos fazer isso porque I é a matriz de identidade; multiplicar contra ele não faz nada. Isso nos dá
Ax – λ Ix = 0
O segundo detalhe importante que precisamos levar em consideração é que a ordem de multiplicação é importante para as matrizes. Portanto,
( A – λ I ) x = 0
Uma vez que agora temos uma matriz ( A – λ I ) multiplicando por um vetor diferente de zero ( x ) para nos dar 0, A – λ I tem um determinante de 0. Podemos usar isso para encontrar autovalores resolvendo a equação det ( A – λ I ) = 0 para λ. Devido à natureza do determinante, det ( A – λ I ) será sempre um n º polinomial grau quando A é um n por n matriz, o que significa que haverá n soluções, se contarmos os que são números complexos. Portanto, um n por n matriz possuin valores próprios. Como exemplo, vamos encontrar os autovalores da seguinte matriz 2 por 2.
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Usando a fórmula determinante para matrizes 2 por 2, obtemos que
(4 – λ) (1 – λ) – (-1) (2) = 0
significa que
λ² – 5λ + 4 + 2 = 0
λ² – 5λ + 6 = 0
(λ – 3) (λ – 2) = 0
Portanto, λ = 3 ou λ = 2. Observe que terminamos com um polinômio de 2º grau no lado esquerdo, como esperávamos, já que nossa matriz era uma matriz 2 por 2. Agora podemos usar esses autovalores para encontrar os autovetores.
Lembre-se de que ( A – λ I ) x = 0. Colocando os valores de λ, podemos usar a redução de linha para resolver x . Primeiro colocaremos λ = 3.
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Note que isto nos diz que, por algum vetor com parâmetros x e y que x – y = 0, significado x = y . Isso nos diz que os autovetores correspondentes ao autovalor de 3 são todos autovetores da forma
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Tente encontrar o conjunto de autovetores correspondentes ao autovalor de 2. Você deve descobrir que todos eles podem ser representados por vetores da forma
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Autovetores representativos
Mesmo que haja um número infinito de autovetores correspondendo a cada autovalor, muitas vezes é útil escolher um determinado autovetor em cada conjunto para representar todos os autovetores no conjunto. Podemos escolher um representante colocando um número em x na descrição de todos os autovetores. Existem dois representantes principais que são frequentemente escolhidos.
O mais fácil dos representantes comuns de produzir é aquele em que 1 é colocado em x . Assim, os vetores representativos desta forma para o exemplo acima seriam
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O mais difícil dos representantes comuns de produzir é o autovetor unitário. O autovetor unitário é o autovetor de comprimento 1. Lembre-se de que o comprimento de um vetor l com os parâmetros x e y é encontrado pela equação l ² = x ² + y ². Portanto, precisamos resolver a equação 1 = x ² + y ². Como exemplo, para o autovetor correspondente ao autovalor de 2 na matriz, y = 2 x . Portanto, para encontrar ax que queremos, resolvemos da seguinte maneira.
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Portanto, nosso autovetor unitário é
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Resumo da lição
Lembre-se de que um autovalor λ e um autovetor x para uma matriz quadrada A satisfazem a equação Ax = λ x . Resolvemos det ( A – λ I ) = 0 para λ para encontrar os autovalores. Então resolvemos ( A – λ I ) x = 0 para x para encontrar os autovetores. Frequentemente representamos os valores próprios inserindo 1 para o parâmetro que determina o vetor ou encontrando o vetor próprio unitário , o vetor próprio de comprimento 1.