Definição de valores próprios
Ao olhar para uma bolota, você vê uma árvore? Provavelmente não. No entanto, uma bolota contém a informação genética de uma árvore. Uma bolota é como um autovalor , que condensa as informações em uma matriz. Vamos usar alguns exemplos para explorar a definição e as propriedades dos autovalores.
Algumas informações da matriz
Para manter as coisas gerenciáveis, os exemplos que usaremos serão matrizes com no máximo 2 linhas e 2 colunas (mas os conceitos podem ser estendidos para matrizes maiores). Você pode ver nosso exemplo de matriz:
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Vamos começar com a diagonal principal , que começa na parte superior esquerda e vai para a parte inferior direita da matriz. Os números na diagonal principal de A são -5 e 4. O traço é a soma dos números na diagonal principal. O traço de A é -5 + 4 = -1. Por enquanto, tudo bem?
Em geral, se nossa matriz 2x2 tivesse letras em vez de números, poderíamos escrever algumas fórmulas para o determinante , um número útil que é calculado a partir das entradas em uma matriz. Uma matriz genérica pode ser semelhante a esta:
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Para encontrar o determinante, multiplicamos um vezes d e subtrair o produto de b vezes c . Como fórmula, o determinante = ad - bc . Isso funciona para matrizes 2x2. O determinante de A é -5 (4) - (-7) 2 = -20 + 14 = -6.
Uma matriz m x1 (ou seja, m linhas e 1 coluna) é chamada de vetor coluna . Em geral, multiplicar uma matriz 2x2 por um vetor de coluna 2x1 se parece com:
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Para praticar, vamos multiplicar A pelo vetor (1 -1):
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Esse vetor era especial! Quando multiplicamos esse vetor pela matriz A , obtemos o vetor de volta, embora seja escalado por um número. Esse vetor é chamado de autovetor de A e o número de escala é um autovalor associado ao autovetor. Lembra como uma bolota é uma informação condensada da árvore? Bem, quando temos dois autovalores distintos e seus autovetores associados para uma matriz 2x2, podemos reconstruir a matriz. Quão legal é isso!
Encontrando valores próprios
Lembra o que aconteceu quando multiplicamos a matriz A por um autovetor de A ? O autovetor não foi alterado, exceto por um fator de escala. Se tivéssemos multiplicado qualquer outro vetor por A , o vetor teria mudado. São apenas esses autovetores especiais que permanecem os mesmos. Uma equação resumindo isso é Av = λ v onde λ é o autovalor associado ao autovetor v .
Para encontrar os autovalores, pegamos o determinante de A - λ I , definimos esse resultado como zero e resolvemos os autovalores λ. I representa a matriz de identidade , que tem 1 ao longo da diagonal principal e 0 em todas as outras partes. Antes de usar essa ideia determinante igual a zero, você deve estar se perguntando de onde vem isso.
Ok, λ v é o mesmo que λ Iv . Então, Av = λ v é o mesmo que Av = λ Iv . Então, Av - λ Iv = 0 ou ( A - λ I ) v = 0. Ótimo! Queremos encontrar os autovetores v e os autovalores λ. Esta última equação é verdadeira se v = 0, mas ter um vetor igual a zero não é interessante. Queremos soluções para v diferente de 0. Agora, A - λ I é uma matriz. E se A - λ eu tivesse um inverso? Então,
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Sabemos ( A - λ I ) v = 0. E se multiplicarmos os dois lados desta equação pelo inverso de ( A - λ I )? O lado esquerdo seria uma matriz vezes seu inverso, que é a matriz identidade I , que está multiplicando o vetor v . O lado direito seria uma matriz vezes 0, que é 0.
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É muito trabalhoso mostrar se A - λ I tem um inverso, então v é zero. Mas não estamos permitindo que v seja 0, o que significa que A - λ Eu não devo ter um inverso!
Encontrar o inverso de uma matriz envolve a divisão pelo determinante da matriz. Não podemos fazer essa divisão se o determinante for zero. Em outras palavras, A - λ I não tem uma inversa desde que o determinante de A - λ I seja, de fato, zero. E é por isso que definiremos o determinante de ( A - λ I ) igual a 0. Ok, que tal um exemplo de encontrar autovalores?
Vamos encontrar os autovalores de nossa matriz A. Nós construímos o A - λ I :
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Em seguida, definimos o determinante de A - λ I igual a zero. Lembre-se de como encontrar o determinante de uma matriz 2x2?
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O determinante de A - λ I definido igual a zero nos dá o que é chamado de equação característica:
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Resolver para λ nos dá os autovalores. A fatoração dá (λ + 3) (λ - 2) = 0. Portanto, λ = -3 e λ = 2 são os autovalores.
Propriedades de autovalor
Assim como as propriedades da bolota interessam aos esquilos, estamos interessados em algumas das propriedades interessantes dos autovalores.
Primeiro, o traço de A é a soma dos autovalores. Anteriormente, o traço de A é -5 + 4 = -1. A soma dos valores próprios é -3 + 2 = -1. Verifica!
Segundo fato, o determinante de A é o produto dos autovalores. Anteriormente, o determinante de A = -5 (4) - (-7) 2 = -6. O produto dos valores próprios é -3 (2) = -6. Verifique novamente!
Os esquilos ficariam orgulhosos!
Resumo da lição
Vamos revisar…
Quando uma matriz multiplica um de seus vetores próprios, o vetor próprio permanece inalterado, exceto por um fator de escala. O fator de escala é chamado de autovalor , ou o que condensa as informações em uma matriz. Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica. O determinante , um número útil que é calculado a partir das entradas em uma matriz, e o traço , ou a soma dos números na diagonal principal, da matriz podem ser usados para verificar numericamente os autovalores. Lembre-se de que a diagonal principal , a parte mais básica de tudo isso, começa na parte superior esquerda e vai para a parte inferior direita da matriz.