Valor esperado
Em Las Vegas, Nevada, há muitos cassinos onde você pode jogar por um pouco de dinheiro. Cada vez que você joga esses jogos, você pode esperar ganhar nada, nada ou muito dinheiro de volta! Claro, se você acertar o jackpot e ganhar um milhão de dólares em apenas um jogo, você pensaria que esses jogos são ótimos! Mas continue jogando e você perderá cada vez mais dinheiro. Esses cassinos são um negócio e estão nele pelo dinheiro, como qualquer outro negócio. Portanto, todos os jogos que eles oferecem foram examinados matemática e estatisticamente pela equipe de negócios para garantir que o cassino acabe ganhando dinheiro.
Como eles fazem isso? Eles calculam o que é chamado de valor esperado do jogo. O valor esperado é o valor médio que você pode esperar após um grande número de rodadas. Isso significa que quanto mais e mais jogos você joga em um cassino, mais perto você chegará do valor esperado de seus ganhos, ou a falta deles. Você pode usar esse valor para determinar se vale a pena jogar um jogo ou não. Se o valor esperado de um jogo é – $ 5,00, por exemplo, você pode dizer que não vale a pena perder $ 5 para jogá-lo, ou você pode dizer que a diversão de jogar vale a pena perder $ 5.
Como esse valor esperado é uma média, você pode esperar atingir esse número ao jogar. Por exemplo, um jogo de dados pode ter um valor esperado de $ 2, mas as únicas opções são ganhar $ 0, $ 5 ou $ 10. Você nunca ganhará $ 2, mas se jogar rodadas suficientes, verá que seus ganhos por jogo ficarão cada vez mais próximos de $ 2.
Probabilidade em cada evento
Para calcular o valor esperado de um determinado jogo, os cassinos precisam saber a probabilidade de cada evento que pode acontecer no jogo. Por exemplo, em um jogo de roleta, eles precisam saber a probabilidade ou chance de a bola cair em cada um dos números da roda da roleta. Em um jogo de dados, eles precisam saber a probabilidade de os dados caírem em cada um de seus números de 1 a 6. Em seguida, para calcular o valor esperado, eles multiplicam cada evento com sua probabilidade e somam tudo. Isso dá a eles o valor esperado desse jogo específico.
Fórmula
Podemos escrever este cálculo na forma de fórmula usando o símbolo de soma como este:
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Nesta fórmula, x representa nosso evento. Portanto, esta fórmula está nos dizendo para multiplicar nosso evento por sua probabilidade e, em seguida, somar todas essas multiplicações. Por exemplo, se a probabilidade de lançar um 5 em um jogo de dados e ganhar $ 10 for 1/6, multiplicaríamos os $ 10 (o evento) por 1/6 (a probabilidade de acontecer) e, em seguida, adicionaríamos a todos os nossos outras escolhas.
Num jogo de dados, uma vez que existem apenas seis eventos possíveis, só temos de somar 6 eventos. Para a roda da roleta, como são 38 opções, precisaremos somar 38 eventos.
Exemplo
Vejamos um exemplo:
Custa $ 3 para jogar um jogo de dados. Você pode esperar ganhar $ 5 se tirar 5 e $ 10 se tirar 6. Qual é o valor esperado deste jogo? Isso além de ganhar seus $ 3 de volta, ou seja, um ganho líquido de $ 5 ou $ 10.
Primeiro precisamos fazer uma tabela de nossos eventos e a probabilidade de isso acontecer. Sabemos que a probabilidade de rolar cada número nos dados é de 1/6 para cada número. Portanto, podemos escrever uma tabela listando nossos números de dados, o dinheiro que ganhamos quando lançamos esse número e a probabilidade de isso acontecer.
| Rolar os dados | Ganhos | Probabilidade |
|---|---|---|
| 1 | – $ 3 | 1/6 |
| 2 | – $ 3 | 1/6 |
| 3 | – $ 3 | 1/6 |
| 4 | – $ 3 | 1/6 |
| 5 | $ 5 | 1/6 |
| 6 | $ 10 | 1/6 |
Temos seis opções ao lançar um dado. Eu os listei com o custo de cada um e sua probabilidade relacionada. Se você tirar 1, perderá $ 3 porque essa é a quantia que pagou para jogar o jogo. Agora podemos começar a calcular nosso valor esperado. Nosso x (nosso evento) são nossos ganhos. Podemos examinar nossa tabela e multiplicar nossos ganhos pela probabilidade de cada linha e, em seguida, somá-los todos.
Temos nosso valor esperado = (-3) (1/6) + (-3) (1/6) + (-3) (1/6) + (-3) (1/6) + (5) ( 1/6) + (10) (1/6). Isso soma (-0,5) + (-0,5) + (-0,5) + (-0,5) + (0,833) + (1,667) = 0,5. Nosso valor esperado é de $ 0,50 por jogo.
Isso significa que se continuarmos jogando mais e mais jogos, podemos esperar ganhar 50 centavos por jogo. Olhando para esse valor esperado, você pode dizer que seu tempo vale mais do que 50 centavos por jogo e decidir que o jogo não vale a pena, ou pode dizer ‘ei, vale a pena porque você não tem nada melhor para fazer. Pode muito bem ganhar algum dinheiro.
Se você fosse o cassino, por outro lado, veria esse valor esperado e diria que não podemos oferecer este jogo a esse preço porque perderemos dinheiro. Então, o que você faz? Você pode aumentar o custo por jogo ou diminuir os ganhos possíveis. Você calcula o valor esperado novamente até obter um valor que signifique ganhar dinheiro. Se o valor esperado for negativo, o jogador perde dinheiro e o cassino ganha dinheiro.
Claro, podemos ter situações em que a probabilidade de cada evento é diferente. Nesse caso, você segue o mesmo formato que seguimos para o jogo de dados (multiplicando o evento por sua probabilidade e somando todos), mas em vez de todas as probabilidades serem 1/6, cada uma será diferente.
| Evento | Probabilidade |
|---|---|
| – $ 3 | 0,2 |
| – $ 3 | 0,2 |
| – $ 3 | 0,2 |
| $ 1 | 0,3 |
| $ 5 | 0,1 |
Agora que você conhece o processo, pode aplicá-lo às decisões de negócios. Como proprietário de uma empresa, um fabricante de produtos pode vir até você e pedir que venda seus itens. Ela tem um certo histórico e você pode ver a probabilidade de seus itens serem vendidos a um determinado preço. Você pode usar suas habilidades recém-aprendidas para calcular se valeria a pena vender os itens dela a um determinado preço.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos:
O valor esperado é um valor médio que você pode esperar após um grande número de rodadas. Por exemplo, se o valor esperado de um jogo for – $ 1, você pode esperar perder um dólar a cada jogo à medida que joga mais e mais jogos, mesmo que seus ganhos possíveis sejam de apenas $ 0 e $ 10.
Para calcular esse valor, você multiplica cada evento com sua probabilidade e soma todos eles. A fórmula que você pode usar para isso pode ser escrita com o símbolo de soma:
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Resultados de Aprendizagem
Depois de revisar esta vídeo-aula, você será capaz de:
- Defina o valor esperado
- Identifique a fórmula para calcular o valor esperado
- Explique as implicações do mundo real de encontrar o valor esperado