Os limites do meu carro
Já fiz algumas viagens rodoviárias em todo o país e, em cada uma delas, cheguei a montanhas. Agora não sei sobre você, mas quando meu carro bate nas colinas, é sempre uma aventura. Não importa o quão forte eu pressione o pedal do acelerador, meu carro nunca vai mais rápido do que cerca de 72 quilômetros por hora. A colina parece estar limitando minha velocidade.
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Vamos fazer um gráfico disso. Digamos que eu represente graficamente a velocidade em função da profundidade do pedal. Digamos que minha velocidade seja de 1,6 km por hora porque os carros nunca param. Conforme eu pressiono o pedal com mais força, minha velocidade aumenta, aumenta, aumenta, mas se estou em uma colina, chego a cerca de 45 milhas por hora. Não importa o quão forte eu empurre, eu simplesmente não consigo chegar a 72 quilômetros por hora. Agora sabemos que esta é uma assíntota horizontal , mas também podemos chamá-la de limite .
Exemplos de limites
Existem limites em todo o lugar. De, obviamente, meu carro em uma colina, à velocidade terminal quando você salta de um avião e está fazendo paraquedismo. Você vai atingir alguma velocidade e não vai mais rápido do que isso; você é limitado. A paciência de minha mãe é limitada e assim por diante. Mas matematicamente, vemos os limites como funções à medida que nos aproximamos, digamos, de um número. Então o que isso quer dizer?
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Limites de um pêndulo
Vamos considerar um pêndulo. Então, um pêndulo, digamos que seu relógio – você está tentando hipnotizar alguém – está balançando para frente e para trás ao longo de uma corda. Agora posso dar uma olhada no local ao longo de x em função do tempo e, talvez, quando eu o liberar do zero, o tempo aqui seja zero. O pêndulo passa e faz um balanço e, do outro lado, o tempo é cerca de 6. Então, se eu representar graficamente a localização do pêndulo e marcar o tempo em que ele está em um local específico, posso obter algo parecido com isto. À medida que avançamos no tempo, sabemos que a localização do pêndulo seguirá esta linha, e em t= 4, esperamos que se aproxime e alcance este ponto. Se começarmos aos 5 segundos em, digamos aqui, podemos reverter o tempo, e se invertermos o tempo, vemos que o pêndulo se aproximará do mesmo ponto em que estava em t = 4. O limite da localização do pêndulo está bem aqui em t = 4.
Posso representar graficamente de outra forma. Se eu representar graficamente a localização em função do tempo, meu gráfico se aproxima da localização em t = 4 tanto do lado esquerdo, onde o tempo está aumentando, quanto do lado direito, onde o tempo está diminuindo. Eu poderia dizer que o limite da posição conforme nos aproximamos do tempo de 4 está aqui.
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Exemplos de limites em matemática
Vejamos alguns exemplos matemáticos. Vejamos a função o valor absoluto de x , ou | x |. O gráfico de | x | parece um ‘V’, e você sabe que conforme se aproxima do valor x = 0, f (x) será igual a 0. Diga f (0,1) = 0,1, f (0,01) = 0,01, f (0,001) = 0,001, f (0,00000001) é … bem, essa é a ideia. Se o abordarmos do outro lado, obteremos o mesmo comportamento. f (-0,1) = 0,1, f (-0,01) = 0,01 e assim por diante. Em ambos os casos, o valor desta função está se aproximando de zero à medida que avançamos para x = 0.
Que tal uma função que não é contínua? Portanto, para uma função que não é contínua, como f (x) = x para x menor ou igual a zero, ef (x) = 1 para x maior que zero, conforme nos aproximamos de x = 0 do lado esquerdo lado, nossa função se aproxima do valor de zero. Conforme nos aproximamos de x = 0 do lado direito, nossa função se aproxima do valor de 1. Isso pode ser algo a considerar um pouco mais tarde. E sobre a função, f (x) = 3 ( x ) ^ 2? Bem, há um limite em, digamos, x = 2.
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x f (x) f (x)
Resumo da lição
Então, na verdade, os limites dizem o que acontece com as funções quando você se aproxima de algum valor. Para viagens rodoviárias, isso pode ser pedal para o metal como uma assíntota. Para pêndulos, porém, é o que acontece quando você se aproxima de um determinado momento. Para gráficos, vemos isso como o que acontece com sua função quando você se aproxima de algum valor de x .