Área de um Triângulo
Muito rápido, como você encontra a área de um triângulo? Se você estuda geometria há muito tempo, sabe que é A = 1 / 2b * h. Para muitas pessoas, essa equação vem à mente tão rapidamente que você realmente não precisa pensar a respeito. Na verdade, geralmente é algo que faz muito sentido – desenhe uma linha diagonal em um retângulo e você obterá dois triângulos de tamanhos iguais, então você simplesmente encontra a área do retângulo e divide por dois. Fácil, certo?
Bem, nem sempre. As chances são de que os triângulos que você calculou com a metade da altura da base quase sempre incluam um ângulo reto ou a altura marcada. Nesses casos, é muito simples calcular a área. Mas e aqueles triângulos incômodos sem essa ajuda? Estamos condenados a nunca conhecer sua área? Claro que não! No entanto, vai precisar de um pouco de trigonometria. Ou seja, teremos que usar uma fórmula diferente. Nestes casos, a área de um triângulo é = ½ * a * b * senC.
As letras minúsculas são os comprimentos dos lados e as letras maiúsculas são a medida do ângulo indicado. Mais especificamente, C é o ângulo entre os lados a e b. Embora possa não parecer tão bonito quanto meia base vezes a altura, nesta lição veremos que é muito mais útil.
Usando Sine para Encontrar a Área
Antes de nos preocuparmos com a matemática dessa fórmula, vamos voltar e olhar para ela. Realmente, pense nisso como duas partes. As metades de um lado devem fazer sentido, já que é retirado diretamente de nossa fórmula usual. Mas e o segundo lado vezes o seno do terceiro ângulo? O que você está essencialmente fazendo aí é criar um triângulo retângulo imaginário no qual conhecemos a hipotenusa e o ângulo e estamos tentando resolver para o lado oposto. Assim, para resolver o lado oposto, basta multiplicar os dois lados pela hipotenusa, o que nos dá o lado oposto. Afinal, essa proporção do lado oposto sobre a hipotenusa é tudo o que um senoé – muda com cada ângulo porque a proporção entre os lados muda. O lado oposto desse triângulo retângulo imaginário é a altura do nosso triângulo real. Como resultado, ainda estamos calculando metade da base vezes a altura, mas estamos fazendo isso de uma maneira um pouco diferente.
Oh, uma nota rápida sobre calculadoras. Você pode usar uma calculadora científica ou uma calculadora gráfica para resolver esses problemas. No entanto, certifique-se de que você está no modo graus, representado por DEG frequentemente. Caso contrário, você receberá uma resposta realmente confusa.
Exemplo Um
Obviamente, isso é um pouco diferente, mas uma das coisas bonitas sobre a matemática é que podemos aplicar fórmulas e fatos matemáticos a problemas do mundo real. Então, digamos que você tenha que calcular a área de uma asa de um avião. O fornecedor de tintas precisa saber quanta tinta deve trazer para concluir o trabalho, e você sabe que eles podem resolver o resto desde que você dê a eles a área de apenas uma asa. A asa é puxada para trás, com comprimentos dos seguintes lados: a tem 7 metros, b tem 16 metros e o ângulo C é 130 graus. Então, qual é a área do topo da asa? Vamos inserir os números em nossa fórmula. A área é igual a metade vezes a vezes b vezes seno do ângulo C. Portanto, você tem metade vezes 7 vezes 16 vezes o seno de 130 graus. Metade de 7 vezes 16 é 56, e o seno de 130 graus é 0,7660.
Exemplo Dois
Isso foi bastante simples, então vamos tentar algo um pouco mais complicado. Digamos que você esteja adquirindo peças para um painel solar de formato estranho. No entanto, os engenheiros perderam todas as medições. Alguém chega até você e diz que eles têm o comprimento de dois lados, assim como a medida do ângulo entre esses lados. Os comprimentos dos lados são de 14 metros e 17 metros, enquanto o ângulo é de 61 graus.
Mais uma vez, basta inserir suas informações na fórmula meia vez a vezes b vezes seno C. Isso significa meia vezes 14 vezes 17 vezes seno de 61 graus. Você calcula os números e chega a 119 vezes o seno de 61 graus, que é 0,8746. A resposta resultante é 104,0797 metros quadrados.
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos como usar o seno para calcular a área de um triângulo sem uma altura claramente definida. Aprendemos que estávamos substituindo em um triângulo retângulo imaginário para nos permitir usar seno a fim de encontrar a altura do triângulo existente. Como tal, a fórmula é: ½ * a * b * sinC, onde a e b são os lados adjacentes ao ângulo C.