Derivada de função exponencial
A derivada da função exponencial da base natural e é a seguinte:
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De modo mais geral, se u for qualquer função diferenciável, então:
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Esta versão de extensão da derivada exponencial segue diretamente da Regra da Cadeia . Para relembrar, a regra da cadeia é declarada aqui.
Teorema da regra da cadeia
Suponhamos que f e g são duas funções diferenciáveis. Defina h = (névoa) (x). Então:
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Aqui estão alguns exemplos computacionais diretos.
Usando a fórmula derivada para funções exponenciais
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Generalização para basear um
Em geral, se a> 0 , a fórmula derivada é:
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A próxima seção cobre a derivada da função logarítmica natural e sua generalização para todas as bases positivas. A função logarítmica natural é a função inversa da função exponencial, base e . Da mesma forma, há uma função logarítmica de base a que corresponde (exclusivamente) à função exponencial de base a . ( a> 0 )
Derivada de função logarítmica
A derivada da função logarítmica natural é a seguinte:
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De forma mais geral, se u for uma função diferenciável, segue-se da Regra da Cadeia que:
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Aqui estão alguns exemplos de aplicação da fórmula derivada logarítmica.
Usando a Derivada do Logaritmo Natural
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Se a for qualquer base (número positivo), então, usando a fórmula de mudança de base, é facilmente visto que:
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Assim, a fórmula generalizada para ambas as funções exponencial e logarítmica é simplesmente várias vezes o caso natural da base e . Na próxima seção, damos uma prova para as fórmulas no caso de a = e . (logaritmo natural) As fórmulas para o caso geral de a> 0 são uma modificação simples na prova de a = e e , portanto, deixamos para o leitor validar essas outras duas fórmulas.
Prova de derivados exponenciais e logarítmicos (Base e )
Prova de fórmula derivada logarítmica e exponencial (base e )
Nesta seção, damos uma prova das derivadas logarítmicas e exponenciais. Começamos definindo o número e como:
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Esta é apenas uma das muitas maneiras de definir e . Em seguida, usando a definição de derivada, temos:
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Agora observe que, como h tende a zero, a fração x / h tende a infinito. (assumindo x> 0 , o que só faria sentido no domínio do logaritmo) Além disso, reescrevendo a última expressão como:
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e, em seguida, passando o limite para o interior do logaritmo natural, (permitido porque o logaritmo natural é uma função contínua), podemos concluir que:
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Isso prova a fórmula geral da derivada do logaritmo natural se combinarmos o resultado anterior com a Regra da Cadeia. A seguir, provamos a fórmula da derivada exponencial. Começamos observando primeiro:
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Em seguida, podemos usar a fórmula derivada do logaritmo para observar que:
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Ao combinar as duas últimas equações, torna-se aparente que:
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Então, isso completa a prova das fórmulas derivadas logarítmicas naturais e exponenciais naturais. (com a ajuda da regra da cadeia)
Na próxima seção, continuaremos o tópico de derivadas exponenciais e logarítmicas para discutir a diferenciação logarítmica .
Diferenciação Logarítmica
Suponha que nossa função seja:
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Se tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos:
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Então, se diferenciarmos os dois lados, chegamos a:
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Finalmente, multiplicando ambos os lados por y e lembrando como y é definido, obtemos:
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Observe a semelhança entre os derivados de:
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Ambos têm a função original multiplicada por um logaritmo. No entanto, a diferença neste último é que há um termo extra.
De forma mais geral, suponha que nossa função tenha a forma:
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Então, tomando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:
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Diferenciando os dois lados disso, temos:
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ou
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Então, por exemplo, se:
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então:
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Alternativamente, podemos calcular a derivada da função geral como segue. Primeiro escreva o original como:
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e, em seguida, aplique a regra da cadeia para obter:
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Esta é precisamente a mesma expressão que obtivemos usando o método de diferenciação logarítmica. No entanto, isso não deve ser uma surpresa, pois há uma relação entre as derivadas de uma função e sua inversa. (assumindo que todas as condições necessárias sejam mantidas)
Alguns exemplos que ilustram o uso de diferenciação logarítmica são listados aqui.
Aplicando Diferenciação Logarítmica
1. Determine a equação da linha tangente à curva:
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no ponto:
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Solução
Se tomarmos o log natural de ambos os lados e, em seguida, diferenciarmos os dois lados, chegaremos a:
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e multiplicando ambos os lados por y , obtemos:
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Agora, a equação da linha tangente pode ser vista como:
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Por substituição, é:
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ou:
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2. Defina na linha real positiva a curva:
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Encontre todos os extremos relativos da curva.
Solução
Pegando o log e, em seguida, diferenciando, temos:
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Agora deixe:
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de modo que o lado direito da equação anterior é:
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Usando uma calculadora gráfica, pode-se ver que:
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tem duas soluções no intervalo (0, 1]. Uma das soluções é z = 1 , enquanto a outra é aproximadamente 0,20318787 .
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Com base no gráfico acima, podemos ver que a derivada é positiva em (0,20318787, 1) e negativa em (0, 0,20318787) . (para z ) Equivalentemente, (relembrando a definição para z ) isso significa:
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Portanto, a curva tem um máximo relativo em aproximadamente x = 1,9803 , e este também é um máximo absoluto. O gráfico da função é mostrado abaixo.
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Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos como calcular as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Se u for uma função diferenciável, segue-se da Regra da Cadeia que:
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e:
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Usando qualquer uma das fórmulas acima, podemos determinar as derivadas de funções da forma:
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com ambos u e v sendo ambos não constantes, funções diferenciáveis. O método de diferenciação logarítmica pode ser usado neste caso geral para calcular a derivada da função. A diferenciação logarítmica depende da fórmula derivada logarítmica. Como alternativa, podemos expressar a função como:
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e, em seguida, aplique a fórmula da derivada exponencial para encontrar a derivada da função. Ambos os métodos são equivalentes.