Resolvendo Equações
Suponha que vamos ao supermercado e vemos duas ofertas na loja. A primeira diz que podemos comprar um quilo de cerejas por US $ 8,00. O segundo diz que podemos comprar duas maçãs e três bananas por $ 4,00.
Esses anúncios nos fazem questionar o custo de um quilo de cerejas e o custo de uma maçã ou banana em termos do custo da outra fruta. Pegamos um lápis e um pouco de papel e começamos a fazer um pouco de álgebra para descobrir!
Para começar, consideramos c = o custo de meio quilo de cerejas. Sabemos que um quilo de cerejas custam US $ 8,00, então deve ser o caso que:
2 c = 8
Em seguida, consideramos a = o custo de uma maçã e b = o custo de uma banana. Sabemos que, se somarmos o custo de duas maçãs, ou 2 a , e o custo de três bananas, ou 3 b , terminamos com $ 4,00. Isso dá o seguinte:
2 a + 3 b = 4
Isso é ótimo! Temos duas equações que podemos usar para responder às nossas perguntas. Uma equação é uma declaração de que duas expressões são iguais.
Para descobrir o custo de meio quilo de cerejas, simplesmente resolvemos a equação 2 c = 8 para c . Para encontrar o custo de uma maçã ou banana em termos de outra fruta, resolvemos a equação 2 a + 3 b = 4 para a ou b , respectivamente.
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Temos soluções para nossas equações. Uma solução para uma equação é um valor da variável que torna a equação verdadeira. Vemos que meio quilo de cerejas custa US $ 4,00. Também descobrimos que o custo de uma maçã em termos do custo de uma banana é dado pela equação:
a = (4 – 3 b ) / 2
E o custo de uma banana em termos do custo de uma maçã é dado pela equação:
b = (4 – 2 a ) / 3
Estamos familiarizados com a solução de equações como essas. Isolamos a variável que estamos resolvendo usando um conjunto de regras, mas você já pensou em por que podemos resolver equações dessa maneira? Vamos explorar!
Regras para resolver equações
Como acabamos de dizer, resolvemos esses tipos de equações isolando a variável desejada usando um conjunto de regras. As regras são as seguintes:
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Ah-ha! Essas são as regras exatas que usamos para resolver nossas equações de mercearia. Agora, vamos examinar algumas razões pelas quais podemos usar essas regras para resolver equações, a fim de nos ajudar a entender melhor as equações e suas soluções.
Usando o raciocínio para entender equações e soluções
Vamos começar com a primeira regra, que afirma que podemos adicionar ou subtrair o mesmo número ou variável para ambos os lados de uma equação. Se considerarmos um número x , sabemos que x é igual a ele mesmo. Isso dá lugar à equação
x = x
Agora, o que aconteceria se adicionássemos ou subtraíssemos algum número a ao lado esquerdo da equação? Acabaríamos com:
x ± a = x
Esta afirmação só é verdadeira se a for igual a zero. Para todos os outros números, se vamos adicionar ou subtrair a ao lado esquerdo da equação, devemos também adicionar ou subtrair a ao lado direito da equação a fim de manter ambos os lados da equação iguais .
x ± a = x ± a
Isso nos diz por que podemos adicionar ou subtrair o mesmo número ou variável de ambos os lados de uma equação para resolver para a variável desejada. Contanto que façamos isso para os dois lados, não mudamos a igualdade da equação.
Usamos o mesmo raciocínio para a segunda regra. Se tivermos algum número, x , sabemos que é igual a ele mesmo, então temos a equação x = x . Se apenas multiplicarmos ou dividirmos um lado da equação por um número ou variável, a , então terminamos com uma declaração falsa:
ax = x ou x / a = x são declarações falsas para qualquer a ≠ 1
No entanto, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados da equação pelo mesmo número ou variável, a , então mantemos a igualdade, e a equação permanece verdadeira:
ax = ax ou x / a = x / a são ambas afirmações verdadeiras
Não podemos dividir por zero, então temos que manter isso em mente com esta regra. Agora vemos por que podemos usar essa regra para isolar a variável enquanto resolvemos uma equação. Basicamente, vemos que, ao resolver equações desses tipos, estamos simplesmente manipulando a equação sem alterar sua igualdade porque aderimos a essas regras.
Resumo da lição
Equações são declarações que afirmam que duas expressões são iguais. Soluções para equações são valores da variável ou variáveis que tornam a equação verdadeira. Para resolver equações com uma ou duas variáveis, isolamos a variável desejada em um lado da equação usando as seguintes regras:
- Podemos adicionar ou subtrair o mesmo número ou variável para ou de ambos os lados de uma equação.
- Podemos multiplicar ou dividir cada lado da equação pelo mesmo número ou variável, desde que esse número ou variável não seja 0.
Seguindo essas regras, não alteramos a igualdade da equação, então cada vez que adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir ambos os lados da equação pelo mesmo número ou variável, a equação permanece verdadeira e ambos os lados da equação permanecem igual. Usar um raciocínio como esse nos ajuda a entender melhor as equações e suas soluções e nos permite saber o » por que », bem como o » como » que usamos para resolver equações.