Usando múltiplas representações de um conceito matemático

Representando conceitos matemáticos de várias maneiras

Imagine que uma pessoa está percorrendo o caminho de um círculo perfeito e deseja ver a distância percorrida em uma viagem ao redor desse círculo. Sem ter a circunferência real (ou distância ao redor do círculo), pode parecer difícil de expressar inicialmente. Se dado o raio, no entanto, entendendo que a circunferência é uma função do raio, a distância percorrida em uma volta em torno do círculo pode ser facilmente encontrada. Da mesma forma, podemos obter a circunferência de um círculo com seu diâmetro.

Este é um exemplo muito simples e direto de como podemos ver um conceito matemático, como circunferência, de várias maneiras. Nesse caso, vimos a circunferência como uma função do raio e do diâmetro. Da mesma forma, outros conceitos matemáticos podem ser vistos de mais de uma maneira.

Podemos ampliar nossa compreensão de vários conceitos matemáticos, representando-os de várias maneiras. Vamos ilustrar isso observando:

Um ponto e suas coordenadas
A área de um círculo como uma função quadrática do raio
Probabilidade como a proporção de duas áreas
A área de um plano como uma integral definida

Pontos e suas Coordenadas

Coordenadas cartesianas 2-D vs. coordenadas polares

O conceito de um ponto no espaço 2-D pode ser representado de mais de uma maneira. Duas das representações mais comuns são: pontos, conforme representados em um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) :

Plano cartesiano 2-D com coordenada cartesiana

e pontos, conforme representados em um sistema de coordenadas polares , onde nossa coordenada polar abaixo será (r, θ) , meramente uma maneira diferente de representar (x, y) :

Círculo de unidade com coordenada polar 2-D

Coordenadas 3-D Coordenadas Cartesianas vs. Coordenadas Cilíndricas

Observe que as coordenadas cilíndricas podem ser vistas simplesmente como coordenadas polares, por exemplo (r, θ) com uma 3ª dimensão: (r, θ φ) . Phi (φ) e Theta (θ) são apenas determinações angulares -como ilustrado abaixo. Novamente, (x, y, z) é análogo à coordenada cilíndrica (r, θ, φ) ,.

Coordenadas polares / cilíndricas 3-D versus coordenadas cartesianas 3-D

A área de um círculo como uma função quadrática do raio

O raio r de um círculo, conforme visto nas equações gerais para a circunferência C de um círculo C = 2πr ou área A = πr 2 de um círculo, pode ser representado de mais de uma maneira. Por exemplo, pode ser representado como uma equação de forma padrão de um círculo (ou seja, como uma raiz quadrada da soma de dois binômios):

Forma padrão para equação de círculo com raio r

Também pode ser representado como uma função quadrática . Por exemplo, se nos é dado o polinômio x 2 + y 2 – 4x + 10y + 13 = 0 , podemos escrever sua forma padrão equivalente completando dois quadrados:

x 2 – 4x + _____ + y 2 + 10y + _____ = -13
x 2 – 4x + 4 + y 2 + 10y + 25 = -13 + 4 + 25
(x – 2) (x – 2) + (y + 5) (y + 5) = 16 ou
(x – 2) 2 + (y + 5) 2 = 4 2

Onde h = 2 , k = -5 e r = 4 .

Probabilidade como a proporção de duas áreas

A probabilidade , ou uma fração ou chance que define a proporção , pode ser ilustrada como a proporção de duas áreas . Observando que todos os resultados na natureza ocorrem ao longo de uma curva em sino:

Curva de sino padrão

Podemos representar os vários resultados do lançamento de dois dados, não apenas como frações de 36 resultados possíveis, mas como frações ou proporções de área, por exemplo, como algum número de ‘1-unidades 2 em uma área total de 36 1-unidades 2 . Observe que a imagem abaixo é meramente a de uma curva de sino, simplesmente girada para o lado.

Die-Roll como frações da superfície da área da curva de sino

Por exemplo, a chance de lançamento 2 é de 1 em 36 , definida como uma proporção de duas áreas 1 unidade 2 sobre 36 unidades 2 .

A área de um plano como um integral definido

Por último, podemos usar a área definida como uma integral como um exemplo de como um conceito matemático pode ser representado em mais de uma maneira: O que é comumente aceito como a área total sob uma curva S – conforme definido por uma integral definida ∫ f ( x) dx de x = a a x = b :

Integral de f (x)

também pode ser representado por uma média de somas de muitos retângulos com lados dx ao longo de f (x) :

Área sob f (x)

Resumo da lição

Muitos conceitos matemáticos podem ser representados de várias maneiras. Por exemplo, pontos em 2-D ou 3-D podem ser representados como coordenadas cartesianas, polares ou cilíndricas. O raio de um círculo pode ser visto como uma função da circunferência ou em um quadrático . A probabilidade pode ser vista como uma fração ou razão de duas áreas e, por último, uma integral pode ser vista como a área de um plano sob uma curva ou como uma soma de áreas de retângulos.