Parábolas na vida real
Riley e Sam são irmãos. Riley trabalha como arquiteto paisagista, projetando fontes de água gigantes para grandes hotéis e empresas. Riley tem que fazer muita matemática para calcular o tamanho, a forma e a direção da água que está fluindo da fonte. Seu irmão Sam é treinador de tênis em uma escola local. Sam lembra a seus alunos que é importante quicar a bola de tênis uma vez no lado da rede do adversário. O fluxo da água de uma fonte e o salto de uma bola de tênis em uma quadra criam uma forma em U semelhante, chamada de parábola.
As parábolas são encontradas em muitas áreas da vida. As pontes criam exemplos perfeitos de parábolas. Uma bola sendo lançada para o ar ou quicada no chão cria uma forma de parábola durante sua jornada. A colina mais alta de uma montanha-russa geralmente cria a forma de uma parábola.
Parábolas e funções quadráticas
Então, o que é uma parábola ? Uma parábola é uma linha em forma de u simétrica ao longo da linha de simetria, o que significa que se você desenhar uma linha exatamente no centro da forma de u, ela criará uma imagem espelhada ao longo dessa linha. Esta forma de u pode abrir e criar um u genuíno ou pode abrir para baixo, para a esquerda ou para a direita.
O topo ou a base dessa forma em U, onde a linha passa pelo centro da parábola, é chamado de vértice. O vértice de uma parábola é o pico da curva da parábola. Novamente, dependendo se a parábola está se abrindo para cima ou para baixo, o vértice pode estar no topo ou na base dessa curva.
Matematicamente, uma parábola é criada com uma função quadrática , que é uma equação com a forma de a x ^ 2 + b x + c. A parte a x ^ 2 é a parte da função que cria aquela bela curva arredondada na forma de u em vez de em v.
As parábolas que se abrem ou se abrem, assim, têm o que se denomina um valor mínimo e um máximo.
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valor máximo y valor mínimo y
Encontrando Valores Graficamente
Vamos pensar sobre o significado das palavras ‘mínimo’ e ‘máximo’. ‘Máximo’ geralmente significa ‘mais’ ou ‘mais’ ou ‘maior’. Se obtive o número máximo de pontos em um teste, então sei que obtive o maior número de pontos. Se Susan conseguiu a quantidade máxima de batatas fritas, sabemos que ela tem a maior quantidade de batatas fritas que poderia conseguir. ‘Mínimo’ geralmente significa ‘mínimo’ ou ‘menos’ ou ‘menor’. Portanto, quando penso na quantidade mínima de pontos que preciso marcar para ganhar um jogo, provavelmente estou pensando no menor número.
O mesmo conceito funciona com valores mínimos e máximos de uma parábola. Se a parábola se abrir para baixo, o que significa que ela forma uma colina, o próprio topo dessa colina seria o valor máximo da parábola. Seria a altura máxima que uma pessoa poderia atingir se estivesse escalando aquela colina. Se a parábola se abre e cria um vale, ou em forma de u, então o fundo desse vale seria o valor mínimo. Seria o ponto mais baixo que uma pessoa poderia viajar naquele vale.
Podemos identificar o valor mínimo ou máximo de uma parábola identificando a coordenada y do vértice. Dê uma olhada neste gráfico. O vértice está localizado no ponto (2,5, -,5) e a parábola se abre. Isso significa que a parábola tem um valor mínimo, que é y = 2,5.
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Que tal este gráfico? O vértice está localizado no ponto (1,6), e a parábola se abre para baixo. Isso significa que a parábola tem um valor máximo, que é y = 6.
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Encontrando Valores Algebricamente
Riley está trabalhando em um novo projeto de fonte de água. Ele quer que três bicas de água atirem água para o ar na mesma altura. A função quadrática para as duas primeiras bicas é f ( x ) = -2 x ^ 2 + 3 x + 2. A terceira bica tem um valor máximo de 3,125. Os três bicos disparam uma parábola de água com o mesmo valor máximo?
Como nosso problema está na forma padrão, f ( x ) = a x ^ 2 + b x + c, Riley pode encontrar o valor máximo da equação primeiro encontrando o vértice usando a fórmula x = -b / 2a. Localize b e a na equação original e insira esses números em nossa fórmula.
- x = -3 / 2 (-2)
- x = -3 / -4
- x = ¾ ou 0,75
Agora, pegue .75 e conecte-o de volta em nossa equação original para encontrar a coordenada y do vértice. f ( x ) = -2 (0,75) ^ 2 + 3 (0,75) +2. Avalie a equação. f ( x ) = 3,125. O valor máximo das duas primeiras bicas de água corresponde perfeitamente ao valor máximo da terceira bica de água.
Resumo da lição
Portanto, lembre-se de que uma parábola é uma linha em forma de U simétrica ao longo da linha de simetria. As parábolas que se abrem ou se abrem têm o que chamamos de valor mínimo e máximo. O valor máximo de uma parábola é a coordenada y do vértice de uma parábola que se abre para baixo. O valor mínimo de uma parábola é a coordenada y do vértice de uma parábola que se abre.
Podemos identificar o valor mínimo ou máximo de uma parábola identificando a coordenada y do vértice. Você pode usar um gráfico para identificar o vértice ou pode encontrar o valor mínimo ou máximo algebricamente usando a fórmula x = -b / 2a. Esta fórmula fornecerá a coordenada x do vértice. Simplesmente substitua ox em sua equação original pelo valor da coordenada x e resolva para y . Isso lhe dará a coordenada y do vértice e seu valor mínimo ou máximo! Se a equação está na forma de vértice, que é y = a ( x – h) ^ 2 + k, basta lembrar que k nessa equação é oy -coordenada do vértice.
Resultados de Aprendizagem
Concluir esta lição pode permitir que você alcance estes objetivos:
- Dê exemplos da vida real de parábolas
- Destaque as características de uma parábola
- Localize o valor mínimo ou máximo no gráfico de uma parábola vertical
- Calcule o valor mínimo ou máximo de uma parábola