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Usando limites para calcular o derivado

Revisão de Derivativos

Lembra-se de como a derivada é uma forma matemática de descrever a taxa de mudança? Ao olhar para alguma função em um gráfico, é a inclinação. Para alguma função y = f (x) , dizemos que a derivada é dy / dx . Isso é o quanto y muda quando x muda. Também chamamos isso de y` ou f` (x) , porque x aqui é nossa variável independente. Formalmente, escrevemos isso como f` (x) é igual ao limite, já que algum delta x vai para zero, de f ( x + delta x ) – f (x) , todos divididos pordelta x .

Agora, na verdade, tudo o que isso quer dizer é que vamos calcular a inclinação em algum gráfico conforme delta x vai para zero. Isso é apenas calcular a tangente. Portanto, vamos calcular a derivada usando esta definição formal.


No exemplo do carro, x é uma velocidade constante sempre igual a 60
Gráfico de velocidade constante

Derivado de uma velocidade constante

Digamos que você esteja em seu carro e esteja indo a exatamente 60 milhas por hora. Você já sabe que esta é a sua taxa de variação ou como sua posição está mudando em função do tempo. Você espera que 60 seja a sua derivada quando olha sua posição em função do tempo. Se você estiver dirigindo por uma hora a exatamente 60 mph, você percorrerá 60 milhas. Portanto, aqui está sua posição em função do tempo. Podemos escrever isso matematicamente como posição igual a velocidade vezes tempo. Para este exemplo, é x = 60 t , onde x é sua posição em milhas e t é o número de horas que você dirigiu.

Vamos encontrar a derivada disso. Se eu escrever a equação para sua posição, x = 60 t , poderia dizer que é x = f (t) . Agora t aqui está sua variável independente. A derivada, então, vai ser dx / dt ou x` ou f` (t) . Formalmente, escrevemos isso como o limite, já que delta t vai para zero (porque t é sua variável independente) de ( f ( t + delta t ) – f (t) ) / delta t . Então, vamos inserir nossa função: f ( t +delta t ) é 60 ( t + delta t ) e f (t) é 60 t . Podemos expandir esses termos e simplificar, então calcular dx / dt como 60, que é exatamente o que pensamos que seria, porque estamos indo a 60 mph. Observe que 60 não depende do tempo. Seu x` , ou velocidade, é sempre 60, não importa se é tempo = 0, ou tempo = 1 ou 15 horas a partir de agora. Sempre será constante.

Derivada de uma velocidade não tão constante


A inclinação do Super C aumenta no início e depois se torna negativa conforme ele cai
Gráfico Super C

Vejamos um caso em que isso não é verdade. Vejamos o Super C, a bala de canhão humana. Podemos representar graficamente sua altura em função do tempo, onde a altura está em pés e o tempo em segundos. Digamos que a equação para sua altura em função do tempo seja -16 t ^ 2 + 36 t . Sabemos que a derivada é a inclinação neste gráfico. E a inclinação não é a mesma em todos os pontos no tempo. Aqui, a inclinação é diferente daqui. Na verdade, no início deste gráfico, a inclinação está aumentando. É uma inclinação positiva. Ele está subindo. Conforme o tempo passa, a inclinação é negativa. Ele está caindo de volta no chão.

Então, como podemos escrever isso? Como podemos encontrar sua velocidade, sua velocidade para cima, em função do tempo? Precisamos calcular a derivada disso. Portanto, se a função é altura em função do tempo ( h = f (t) ), então a derivada é dh / dt . Formalmente, escrevo isso como o limite, conforme delta t vai para zero, de ( f ( t + delta t ) – f (t) ) / delta t . Vamos inserir f ( t + delta t ) ef (t) e simplificar. Então, inserimos f ( t + delta t) e inserimos f (t) : (-16 ( t + delta t ) ^ 2 + 36 ( t + delta t )) – (-16 t ^ 2 + 36 t ). Agora temos que expandir este ( t + delta t ) ^ 2: (-16 ( t ^ 2 + 2 ( delta t ) * t + delta t ^ 2) + 36 ( t + delta t )) – (-16 t ^ 2 + 36 t ) Em seguida, podemos simplificar e remover alguns termos, como o -16 t ^ 2 + 16 t ^ 2 e o + 36 t – 36 t .

Quando simplificamos, obtemos isso: (36 ( delta t ) – 32 ( delta t ) * t – 16 ( delta t ^ 2)) / delta t . Se nos lembrarmos de como encontrar o limite de um polinômio dividido por outro polinômio, saberemos que temos que dividir o topo e a base por delta t , porque essa é a ordem mais alta aqui na parte inferior. Se fizermos isso, descobriremos que a derivada, dh / dt , é igual ao limite, conforme delta t vai para zero, de 36 – 32 t – 16 ( delta t ), todo sobre 1. Bem, isso é apenas 36 – 32 t . Portanto, temos a altura em função do tempo, h (t) , igual a -16t ^ 2 + 36 t . A derivada, a velocidade com que Super C está subindo e descendo, é h` (t) = -32 t + 36.

Representando graficamente o derivado


Representando graficamente a derivada para o exemplo Super C
Representando graficamente o derivado

Vamos fazer um gráfico deles. Temos h (t) , h como função de t , e temos a derivada, h` (t) . Você pode calcular que o Super C vai atingir o solo após 2,25 segundos. Portanto, temos que representar graficamente a derivada até t = 2,25. Este gráfico vai até zero; em algum ponto, sua velocidade ascendente é zero. Isso faz sentido, porque quando Super C atinge o ápice de sua curva, ele não tem velocidade ascendente. Ele apenas fica sentado lá por um instante. Podemos descobrir quando isso acontece descobrindo quando h` (t) é igual a zero. E h` (t) é igual a zero em t= 1,125 segundos. Então, cerca de 1 segundo em seu vôo, ele não está se movendo, logo antes de começar a cair de volta.

Agora, quão alto ele chega? Bem, seu pico de altura é quando ele para de se mover. Portanto, sua altura de pico está em t = 1,125. Vamos inserir 1,125 na função de sua altura como uma função do tempo: h = -16 (1,125) ^ 2 + 36 (1,125). Se eu olhar a altura do Super C em t = 1,125 segundos, descubro que ele está, na verdade, a cerca de 6 metros de altura, ou na verdade a 6 metros de altura.

Resumo da lição

Agora podemos encontrar a inclinação ou taxa de mudança ou derivadas usando a definição formal da derivada. Portanto, para y = f (x) ( x é sua variável independente), y` é o limite, conforme delta x vai para zero, de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x .