Integração por partes
Eu absolutamente amo fazer quebra-cabeças. Eu acho que eles são o melhor passatempo do mundo. Posso sentar-me por horas e fazer um quebra-cabeça de 1.000, 2.000 ou 5.000 peças. Um dos truques para fazer quebra-cabeças que descobri é pegar o quebra-cabeça inteiro e dividi-lo em pedaços menores e mais gerenciáveis. Então, em vez de olhar para todas as 5.000 peças de uma vez, você está olhando apenas para 200 peças que são quase da mesma cor e tentando juntá-las primeiro. Depois de colocá-los juntos, você pode colocar esse pequeno pedaço de volta em seu grande quebra-cabeça. Isso torna o processo um pouco menos assustador se você puder fazer isso para cada parte do quebra-cabeça; o quebra-cabeça está pronto antes que você perceba.
Então, o que tudo isso tem a ver com matemática? É semelhante a um conceito que chamamos de integração por partes . Na integração por partes, você tem uma integral como udv . v é sua variável de integração e u é seu integrando, portanto, também será uma função. Você pode escrever a integral udv como sendo igual a uv menos a integral de vdu . O que você fez foi tirar parte do intervalo gigantesco, udv , e fez com que parecesse um pouco mais fácil. Você tirou o uv e, em vez de integrar o udv , ficou com o vdu. A princípio, isso não se parece exatamente com a analogia do quebra-cabeça. Você tem uma pequena integral igual a duas coisas separadas (isso é como o quebra-cabeça), mas as duas coisas separadas não são necessariamente mais fáceis de juntar. Quer dizer, se o vdu não é mais fácil de integrar do que o udv , você não poupou nenhum trabalho ao tirar essas peças do quebra-cabeça. Vamos conversar sobre isso. Primeiro, de onde vem isso e, mais importante, como você pode se lembrar disso?
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É a mesma coisa que a regra do produto . Imagine que você tem uma função uv , e u e v são cada um uma função, como f (x) e g (x) . Se você tomar a derivada de uv , você terminará com u vezes a derivada de v mais v vezes a derivada de u : ( uv ) `= uv` + vu`. Lembramos disso como as primeiras vezes a derivada da segunda mais a segunda vezes a derivada da primeira. Você vê como isso se relaciona com a integração por partes? Pense nisso desta maneira. Se você integrar ambos os lados da equação, você acaba com uv = integral de udv + a integral de vdu . Esta é a sua integração por partes, exceto que movemos vdu para o outro lado da equação. Portanto, se você alguma vez esquecer a equação da integração por partes, veja se consegue se lembrar da regra do produto para diferenciação. Vamos dar um exemplo.
Primeiro Exemplo de Integração por Partes
Digamos que temos a integral de ( xe ^ x ) dx . Isso não é uma integral que eu conheço de cabeça. Em vez disso, é uma função multiplicada por outra função. Talvez eu possa resolver isso por substituição . Não, eu não acho que uma substituição em U funcionaria aqui. Como tenho duas funções multiplicadas uma pela outra, talvez possa fazer integração por partes. Para integração por partes, meu integral, ( xe ^ x ) dx , precisa ser parecido com o udv integral . Então, como eu quero chamar você e como quero chamar dv ? Vamos substituir x por u. O que resta, ( e ^ x ) dx , deve ser igual a dv , porque ( xe ^ x ) dx deve ser igual a udv . Se eu fizer essa substituição, onde u = x e dv = ( e ^ x ) dx , então poderei descobrir o que é du e o que é v . O que quero dizer com isso? Bem, eu tenho u = x ; vamos tirar a derivada disso: du = dx . Ok, então eu tenho você edu e dv é ( e ^ x ) dx . O que é v ? Para encontrar v , tenho que integrar ( e ^ x ) dx , porque quero encontrar a anti-derivada dessa equação. É como desfazer a derivada, certo? Bem, eu sei que se eu tirar a derivada de e ^ x eu obtenho e ^ x , e se eu tirar a integral de e ^ x eu obtenho e ^ x . Portanto, se dv = ( e ^ x ) dx, então v = e ^ x .
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Ok, vamos escrever a integração por equação das partes: a integral de udv = uv – a integral de vdu . Vamos inserir o que sabemos: u = x e dv = ( e ^ x ) dx , o que é bom porque agora o lado esquerdo combina com nossa integral original, ( xe ^ x ) dx , exatamente como deveria. No lado direito, temos uv – que se usarmos nossas substituições u = x e v = e ^ x , é xe ^x – menos a integral de vdu . Bem, v = e ^ x e du = dx , então vamos inserir: ( e ^ x ) dx . Portanto, substituímos uma integral por outra, mas essa integral pode ser resolvida. Eu sei que a integral de ( e ^ x ) dx é apenas e ^ x . Então, se eu usar isso para o segundo termo, acabo encontrando a integral indefinida de ( xe ^ x ) dx como sendo igual axe ^x – e ^ x + uma constante de integração, C .
Posso, então, verificar o meu trabalho, tomando a derivada da xe ^ xe ^ x + C . Se eu fizer isso, acabo com d / dx ( xe ^ x ) – d / dx ( e ^ x ) + a derivada da constante, que é 0. Vamos olhar para o primeiro termo, d / dx ( xe ^ x ). Talvez não seja surpreendente, isso requer a regra do produto. Então eu tenho o primeiro vezes a derivada do segundo, mais o segundo vezes a derivada do primeiro. Isso é ( xe ^ x + e ^ x) – ( e ^ x ). Posso simplificar, porque este e ^ x cancela este e ^ x , e eu obtenho xe ^ x , que era meu integrando original. Então, parece que eu não estraguei tudo.
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Segundo exemplo de integração por peças
Que tal tomar a integral do logarítmico natural de x, ln ( x ) dx ? Não posso usar a substituição u , porque não tenho nada para substituir. Se u = ln ( x ), então eu realmente não sei o que fazer, e se u = x , então eu realmente não fiz nenhuma substituição, então isso não funciona. E se eu tentasse a integração por partes? Vamos tentar dividir isso em partes que não sabíamos que tinha. Digamos u = ln ( x ) para integração por partes. Para tornar ln ( x ) dx igual a udv , dv deve ser igual a dx . E seu = ln ( x ), então du = (1 / x ) dx , porque quando tomamos a derivada do logaritmo natural, obtemos 1 / x . Se dv = dx , então eu integro os dois lados e obtenho v = x .
Ok, vamos escrever minha fórmula de integração por partes e começar a inserir esses valores. A integral de udv se torna a integral de ln ( x ) dx ; essa é minha equação original, exatamente como deveria ser. No lado direito, uv se torna ln ( x ) x , e esse termo menos vdu se torna menos a integral de x (1 / x ) dx . Bem, x (1 / x ) simplifica para 1, então o segundo termo se torna a integral de 1 dx , e eu sei que é igual a x . Portanto, a integral de ln ( x ) dx= x ln ( x ) – x + uma constante de integração C , porque novamente estamos lidando com uma integral indefinida.
Se vou dizer que essa integral indefinida é igual a este lado direito, quero verificar.
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d / dx x x x C d / dx x x x x x x x x x x x x x C x dx
Resumo da lição
A integração por partes , como a substituição, requer um pouco de sutileza e tentativa por erro. O objetivo da integração por partes é tirar uma foto grande e separá-la em pedaços mais gerenciáveis. Estamos pegando a integral grande e feia de udv e separando-a em uv (que não é uma integral, então já está resolvida, como terminar uma pequena parte do quebra-cabeça) e outra integral que esperamos ser mais fácil do que a primeira integral. Como se nossa primeira integral tivesse 2.000 peças de quebra-cabeça e pegássemos 500 peças e as resolvêssemos, ficamos com um quebra-cabeça ligeiramente mais fácil de 1.500 peças. Lembre-se de que a integração por partes requer um pouco de prática, mas se você conseguir, tornará a vida muito mais fácil diminuindo o tamanho do problema.