Reduzindo Frações
Imagine que você está conversando com um amigo. Seu amigo está lhe contando sobre um suco de fruta realmente saboroso que eles fazem e dizem que o suco é 8/10 de suco de abacaxi fresco. Então, eles param e dizem: ‘Bem, na verdade o suco é 4/5 suco de abacaxi fresco.’ O que aconteceu aí? Como o teor de suco de abacaxi passou de 8/10 para 4/5? O que aconteceu é que seu amigo reduziu a fração 8/10 para uma fração equivalente 4/5.
A redução de uma fração envolve a remoção de um fator comum que tanto o numerador quanto o denominador têm em comum, onde um fator comum é um número que se divide em numerador e denominador uniformemente. No caso do seu amigo, eles reduziram mentalmente 8/10 ao reconhecer que tanto o numerador quanto o denominador têm um fator de 2. No papel, o trabalho seria o seguinte.
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Quando reduzimos uma fração, criamos uma fração equivalente, ou uma fração que tem o mesmo valor. Em outras palavras, 8/10 e 4/5 têm o mesmo valor. Existem muitas maneiras diferentes de reduzir as frações. Vamos examinar um método que usa fatoração de primos.
Fatoração Prime
A fatoração primária de um número envolve a fatoração do número completamente até que todos os fatores sejam primos, onde um número primo é um número que só é divisível por 1 e ele mesmo. Por exemplo, considere o número 56. Para encontrar a fatoração primo de 56, apenas começamos a fatorar e continuar até que todos os fatores sejam números primos.
| 56 = 7 * 8 | 7 é primo, fator 8 mais |
| 56 = 7 * 2 * 4 | 7 e 2 são primos, fator 4 adicional |
| 56 = 7 * 2 * 2 * 2 | Todos os fatores são primordiais |
Vemos que a fatoração primária de 56 é 7 * 2 * 2 * 2. O que é realmente legal sobre a fatoração de primos é que não importa com quais dois fatores você comece, você ainda obterá a mesma fatoração de primos desse número. Para ilustrar isso, suponha que começamos com 56 = 2 * 28 em vez de 56 = 7 * 8.
| 56 = 2 * 28 | 2 é primo, fator 28 adicional |
| 56 = 2 * 7 * 4 | 2 e 7 são primos, fator 4 adicional |
| 56 = 2 * 7 * 2 * 2 | Todos os fatores são primos. |
Os fatores estão em uma ordem diferente, mas isso não importa. Ainda entendemos que a fatoração primária de 56 é 7 * 2 * 2 * 2. Agora, vamos ver como usar a fatoração de primos para reduzir as frações.
Usando Fatoração Prime para Reduzir Frações
Para usar a fatoração primária para reduzir frações, seguimos estas etapas.
- Encontre a fatoração principal do numerador e do denominador e reescreva a fração com essas fatorações principais.
- Cancele quaisquer fatores comuns no numerador e no denominador.
- Multiplique todos os fatores que sobraram no numerador juntos e todos os fatores que sobraram no denominador juntos. Esta é a sua fração na forma reduzida.
Vamos dar uma olhada no suco do seu amigo novamente. Seu amigo disse que o suco é suco de abacaxi 8/10. Para reduzir essa fração usando a fatoração primária, primeiro encontramos a fatoração primária do numerador e do denominador e reescrevemos a fração.
| 8 = 2 * 4 | 2 é primo, fator 4 mais |
| 8 = 2 * 2 * 2 | Todos os fatores são primordiais |
A fatoração primária de 8 é 2 * 2 * 2. No que diz respeito a 10, 10 = 2 * 5, e 2 e 5 são ambos primos, portanto, a fatoração principal de 10 é 2 * 5. Agora substituímos 8 e 10 por suas fatorações principais na fração.
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A seguir, cancelamos quaisquer fatores comuns no numerador e denominador.
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Por último, multiplicamos todos os fatores restantes no numerador juntos e todos os fatores restantes no denominador juntos.
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Vemos que 8/10 reduzido é 4/5, o que já sabíamos porque o seu amigo nos disse! No entanto, agora sabemos como eles fizeram isso.
Outro exemplo
Vejamos outra fração que está um pouco mais envolvida. Suponha que desejamos reduzir a fração 68/112. A primeira coisa que queremos fazer é encontrar a fatoração primária do numerador e do denominador.
| 68 = 2 * 34 | 2 é primo, fator 34 adicional |
| 68 = 2 * 2 * 17 | Todos os fatores são primordiais |
A fatoração primária de 68 é 2 * 2 * 17.
| 112 = 2 * 56 | 2 é primo, fator 56 adicional |
| 112 = 2 * 7 * 8 | 2 e 7 são primos, fator 8 mais |
| 112 = 2 * 7 * 2 * 4 | 2, 7 e 2 são primos, fator 4 adicional |
| 112 = 2 * 7 * 2 * 2 * 2 | Todos os fatores são primordiais |
A fatoração primária de 112 é 2 * 7 * 2 * 2 * 2.
Agora substituímos 68 e 112 por suas fatorações principais na fração.
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Cancele quaisquer fatores comuns no numerador e no denominador.
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Multiplique todos os fatores restantes no numerador juntos e todos os fatores restantes no denominador juntos.
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Vemos que quando reduzimos a fração 68/112, obtemos 17/28.
Muito fácil, não é? Agora, se você se deparar com uma fração sendo reduzida em uma conversa, um livro ou algo parecido, você saberá como isso ocorre.
Resumo da lição
A redução de frações envolve a remoção de fatores comuns do numerador e denominador da fração. Uma maneira de fazer isso é com a fatoração primária . A fatoração primária envolve a fatoração de um número até que todos os seus fatores sejam primos, o que significa que o número só é divisível por si mesmo e 1. Para usar a fatoração primária para reduzir uma fração, seguimos estas etapas.
- Substitua o numerador e denominador por suas fatorações principais.
- Cancele quaisquer fatores comuns no numerador e denominador.
- Multiplique todos os fatores restantes no numerador juntos e todos os fatores restantes no denominador juntos. Esta é a sua fração na forma reduzida.
Existem muitas maneiras diferentes de reduzir frações e é útil estar familiarizado com várias maneiras de fazê-lo, portanto, é ótimo que você possa adicionar esse processo aos seus métodos conhecidos para reduzir frações.