Analisando Versus Provando Similaridade
Você esteve perto de figuras semelhantes e dilatação por toda a sua vida. Suas pupilas, por exemplo, dilatam. Eles mudam de tamanho, mas permanecem com a mesma forma. Mas e se você quisesse realmente provar que duas figuras – digamos, triângulos – são semelhantes? A matemática tem um jeito: use dilatações.
Dilatação
Uma dilatação altera o tamanho de uma figura esticando ou encolhendo a figura usando um determinado fator de escala . Se o fator de escala for menor que um (por exemplo, 1/2), a imagem será menor que a imagem original (metade do tamanho). Se o fator de escala for maior que um (por exemplo, 2), a imagem será maior que (o dobro) da imagem original.
Quando uma imagem é plotada em um plano de coordenadas, o centro de dilatação é um ponto fixo naquele plano em torno do qual todos os pontos são alongados ou reduzidos. Quando uma imagem no plano é dilatada por um fator de escala de um número negativo, a figura gira em torno do centro da dilatação 180 graus.
As dilatações nem sempre ocorrem em um plano de coordenadas. Se a imagem não estiver em um plano de coordenadas, para dilatá-la, cada segmento da figura deve ser multiplicado pelo valor absoluto do fator de escala.
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Se a dilatação ocorre em um plano de coordenadas, quando você recebe as coordenadas da pré-imagem e um fator de escala, as novas coordenadas da imagem podem ser encontradas multiplicando o fator de escala pelas coordenadas originais.
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Semelhança
Para que duas figuras sejam semelhantes , elas devem ter medidas angulares correspondentes congruentes (iguais) e lados proporcionais. As dilatações criam números semelhantes porque a multiplicação pelo fator de escala cria lados proporcionais, enquanto deixa a medida do ângulo e a forma iguais.
Exemplo de problema 1: O triângulo ‘gato’ é semelhante ao triângulo ‘cachorro’?
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Para verificar a semelhança, devemos verificar os três componentes principais de imagens semelhantes:
1 – Eles têm a mesma forma? Sim, os dois são triângulos.
2 – Têm ângulos correspondentes congruentes? Sim, ângulo c = ângulo d = 40 graus; Ângulo a = Ângulo o = 45 graus; Ângulo t = Ângulo g = 85 graus.
3 – Têm lados proporcionais? Este requer um pouco mais de trabalho. Aqui, configure proporções (ou frações) para ver se cada comprimento de lado correspondente foi multiplicado pelo mesmo fator de escala.
ca: do = 3: 4,5 para encontrar o fator de escala, divida 4,5 por 3 = 1,5
em: og = 2,5: 3,75 para encontrar o fator de escala, divida 3,75 por 2,5 = 1,5
tc: gd = 4: 6 para encontrar o fator de escala, divida 6 por 4 = 1,5
Sim, o triângulo ‘gato’ e o triângulo ‘cachorro’ têm lados proporcionais. Sabemos disso porque podemos multiplicar cada segmento de linha no triângulo gato (pré-imagem) por um fator de escala de 1,5 para resultar no triângulo cão (imagem).
Mostramos que o triângulo ‘gato’ é semelhante ao triângulo ‘cachorro’.
Exemplo de problema 2: Crie uma figura semelhante usando um fator de escala de 3.
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Para criar uma figura semelhante, devemos primeiro encontrar as coordenadas da pré-imagem fornecida para o retângulo MATH.
M: (-2, 2) A: (1, 2) T: (1, 1) H: (-2, 1)
Em seguida, multiplique cada número na coordenada pelo fator de escala de 3.
M ‘: (-2×3, 2×3) A’: (1×3, 2×3) T ‘: (1×3, 1×3) H’: (-2×3, 1×3)
M ‘: (-6, 6) A’: (3, 6) T ‘: (3, 3) H’: (-6, 3)
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Com essas novas coordenadas, sabemos que as duas figuras serão semelhantes porque:
1- Eles têm o mesmo formato – retângulos.
2- Eles têm ângulos correspondentes congruentes – porque ambos são retângulos, sabemos que todos os ângulos têm 90 graus.
3- Eles têm lados proporcionais – cada lado foi alongado por um fator de escala de 3.
Resumo da lição
As dilatações podem ser usadas para provar que os números são semelhantes , encontrando o fator de escala entre as duas imagens e garantindo que os lados sejam proporcionais. Para encontrar o fator de escala, use os comprimentos dos lados correspondentes, defina uma proporção e divida. As transformações de dilatação garantem que a forma permanecerá a mesma e que os ângulos correspondentes serão congruentes. Esses três componentes das formas – proporcionalidade, ângulos correspondentes congruentes e compartilhar a mesma forma – provam que as figuras são semelhantes.