Extrema
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Sabemos que um extremo é um valor máximo ou mínimo em um gráfico. Se me derem um gráfico, posso apontar onde estão os extremos. Aqui, tenho um valor máximo global. É maior do que qualquer outro ponto em toda a região. Aqui, tenho um valor máximo local. É o maior ponto dessa área. Aqui, tenho um mínimo global e um mínimo local. Também não posso esquecer de incluir os pontos finais em meu gráfico. Mas como faço para calcular isso?
Vamos considerar Super C, Human Cannonball, por um segundo. Super C é lançado no ar e podemos representar graficamente sua altura em função do tempo. Se eu quiser saber sua altura máxima, posso ver que é bem entre quando ele para de subir e ele começa a descer. Então está certo nesse ponto. Se eu colocar isso em um gráfico, descubro que um valor máximo estaria entre onde a derivada é positiva e a derivada é negativa. É quando a inclinação muda de subir para descer.
Um mínimo local é onde a inclinação muda de descer para subir. Portanto, para uma função contínua, quando a derivada muda de positiva para negativa, a derivada vai para zero. Nesse valor máximo global, a derivada será zero exatamente naquele ponto. Da mesma forma, aqui, para este valor máximo local, a derivada será zero no topo. O Super C, no auge da trajetória, não estava subindo e ele não estava caindo. Sua altura em função do tempo, aquela derivada, era zero ali mesmo.
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Encontrando Extrema
Podemos usar isso a nosso favor para encontrar valores extremos. Portanto, para alguma função y = f (x) , a primeira coisa que queremos fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. (Ou seja, onde a derivada é igual a zero.) Portanto, vamos encontrar alguns valores de x onde a derivada é igual a zero. A segunda etapa é descobrir o que é y nesses pontos críticos. Também encontraremos y nos pontos finais. Portanto, podemos perceber que Super C atingiu o ápice de sua altura 1 segundo em seu vôo, mas agora vamos descobrir exatamente quão alto era – esse é o valor de y neste caso. O terceiro passo é que estamos indo para comparar todos aqueles yvalores que acabamos de calcular e veremos qual é o valor máximo que corresponde ao nosso máximo global. Também veremos qual é o nosso valor mínimo que vai corresponder ao nosso valor mínimo global. Todos os outros pontos críticos podem ser máximos ou mínimos locais, mas nem sempre.
Então, vamos colocar alguns números nisso. Vejamos o Super C, a bala de canhão humana. Digamos que sua altura em função do tempo (vou escrever y = f (x) , então x aqui é o tempo ey é a altura) – digamos que essa função seja -x ^ 2 + 2 x e seu o vôo inteiro vai de 0 a 2. OK, então nosso primeiro passo para encontrar todos os extremos é encontrar os pontos críticos, isto é, onde f` (x) = 0. Portanto, vou diferenciar nosso f (x) . A derivada de -x ^ 2 + 2 x é -2 x + 2. Agora vou definir isso igual a zero e resolver para x . Bem,f` (x) = 0 quando x = 1. Então, eu sei em que ponto no tempo Super C atingiu o auge, em x = 1, mas quão alto ele estava em x = 1? Vou calcular f ( x = 1). Vou inserir 1 em nossa equação original aqui. É importante que seja a equação original e não a derivada. Portanto, tenho – (1) ^ 2 + 2 (1). Isso é -1 + 2, ou apenas 1. Sua altura em x = 1 é 1. Portanto, este ponto aqui é o ponto (1, 1).
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OK, pode ser seu máximo global ou pode ser seu mínimo global, então vamos dar uma olhada nos pontos finais. No lado esquerdo, temos x = 0, então qual é o valor de sua altura em x = 0? f ( x = 0) = – (0) ^ 2 + 2 (0). OK, isso é zero. Portanto, este ponto aqui no final é (0, 0). No lado direito, em x = 2, f (x)= 0 também. Portanto, este ponto aqui é (2, 0). Tenho três possibilidades para valores máximos e mínimos globais e locais. Meu máximo global é o máximo deles. É quando a altura dele é igual a 1, então é o ponto (1, 1). Existem dois valores mínimos, em (0, 0) e (2, 0). Em ambos os casos, ele está no nível do solo. Foi quando ele foi baleado e caiu no chão. Portanto, temos dois mínimos globais, um em (0, 0) e um em (2, 0). Neste caso, os mínimos e máximos locais são iguais aos valores mínimo e máximo globais.
Encontrando mais Extrema
Vamos fazer outro exemplo. Digamos que temos a função y = 2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 12 x + 1 entre -3 e 3. Vou esboçar isso assim. Vamos encontrar os valores extremos. Meu primeiro passo é encontrar os pontos críticos. Vou tirar a derivada do meu f (x) , que é apenas 2 x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 12 x + 1. A derivada é 6 x ^ 2 + 6 x – 12. Vamos definir aquele igual a zero para encontrar os pontos críticos. Vou fatorar um 6 e, em seguida, vou fatorar este x ^ 2 + x – 2 em ( x + 2) ( x– 1). Este lado esquerdo aqui é igual a zero quando x = -2 ou x = 1. Portanto, tenho dois pontos onde a derivada é igual a zero, x = -2 e x = 1.
Vamos calcular qual é o valor da minha função nesses dois pontos críticos internos e em ambas as extremidades, x = -3 e x = 3. Em x = -2, f (x) = 2 (-2) ^ 3 + 3 (-2) ^ 2 – 12 (-2) + 1. Isso é apenas 21. OK, então eu tenho um ponto que é (- 2, 21). Em x = 1, f (x) = -6. Então esse é o ponto (1, -6). Em x = 3, f (x) = 46, então esse é o ponto (3, 46). Finalmente, em x = -3, f (x) = 10. Então esse é o ponto (-3, 10). Vou dar uma olhada nisso e ver qual será meu máximo global e qual será meu mínimo global.
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f (x), y x y x y
Resumo da lição
Então, vamos revisar. Extrema são os pontos máximos e mínimos de alguma região. Para encontrar valores extremos, primeiro queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é igual a zero. Então, vamos descobrir qual é o valor de nossa função nesses pontos críticos, bem como nos pontos finais. Por fim, vamos comparar todos esses valores, ou seja, o valor da nossa função, nos pontos críticos e nos pontos finais, para ver qual é o máximo global e qual é o mínimo global.