Matemática

Triplo pitagórico: fórmula e exemplos

Um triplo pitagórico é um conjunto de três inteiros positivos que satisfazem o teorema de Pitágoras : a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Inteiros são números escritos sem casas decimais ou frações. Eles também podem ser conhecidos como números inteiros.

O teorema de Pitágoras mostra a relação dos quadrados dos lados de qualquer triângulo retângulo – um triângulo com um canto de 90 graus, ou quadrado.

Normalmente, um e b referem-se aos dois lados curtos do triângulo, e c refere-se ao lado mais longo, a hipotenusa , como mostrado na figura.


O Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras

Se você conhece os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo, pode encontrar o comprimento do terceiro lado usando o teorema de Pitágoras. Por exemplo, se a = 2 e b = 4. Então, usando o teorema, você obtém 2 ^ 2 + 4 ^ 2 = c ^ 2. Em outras palavras, 20 = c ^ 2. Portanto, c é igual à raiz quadrada de 20. Não há um número inteiro igual à raiz quadrada de 20. Na verdade, a raiz quadrada de 20 é irracional . O melhor que você pode fazer é simplificar como duas vezes a raiz quadrada de 5. Usando uma calculadora, você pode obter uma resposta aproximada que parece mais simples, mas é apenas aproximada.

Às vezes, no entanto, você pode inserir valores inteiros positivos para dois dos lados e obter outro inteiro positivo. Por exemplo, se a = 3 e b = 4, então a ^ 2 + b ^ 2 = 25 e, portanto, c = 5.

Parece um milagre quando isso acontece. É como deixar cair toda a sua mudança para a máquina de mudança no banco local e isso só acontece para igualar exatamente US $ 100,00. Você quase se pergunta se a máquina de câmbio está manipulada.

Alguns triplos pitagóricos são:

(3, 4, 5)

(5, 12, 13)

(8, 15, 17)

(7, 24, 25)

(20, 21, 29)

Triplos primitivos e não primitivos

Se você pegasse um triplo pitagórico, por exemplo (3,4,5) e multiplicasse todos os números do triplo pelo mesmo inteiro positivo, obteria outro triplo pitagórico. Por exemplo, multiplicando por dois, você obtém (6, 8, 10). Esses números também satisfazem o teorema de Pitágoras: 6 ^ 2 + 8 ^ 2 = 10 ^ 2.

Você pode realmente provar usando a álgebra que sempre funcionará porque tudo o que você fez foi multiplicar ambos os lados da equação por 2 ^ 2.

O ponto aqui é que você pode criar um número infinito de triplos pitagóricos simplesmente multiplicando cada triplo por inteiros. Por outro lado, a lista triplos acima (e um monte de outros como eles) são especiais porque eles são não o resultado da multiplicação outro terno pitagórico por um número inteiro positivo. Esses triplos são chamados de triplos pitagóricos primitivos . Eles não vêm de outros triplos pitagóricos.

O matemático Euclides surgiu com uma fórmula que irá gerar todos os triplos pitagóricos primitivos . Embora compreender e aplicar a fórmula esteja um pouco além desta lição, é importante saber que os triplos podem ser encontrados usando um processo muito organizado e ordenado. Eles não são apenas um monte de números aleatórios que os matemáticos encontraram por acaso. Ao contrário de descobrir que o troco em seu bolso é exatamente igual ao número de mensagens de texto que você recebeu entre 5h e 7h desta manhã (ou alguma outra coincidência muito legal), os triplos pitagóricos seguem um padrão previsível.

Resumo da lição

Os triplos pitagóricos são conjuntos de três inteiros positivos que satisfazem o teorema de Pitágoras. Um triplo pitagórico é primitivo se não for o resultado da multiplicação de outro triplo por outro número.

Triplos pitagóricos

Um triplo pitagórico é um conjunto de três inteiros positivos que satisfazem o teorema de Pitágoras (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2). Por exemplo, o conjunto de números 3, 4 e 5 é um triplo pitagórico porque se você adicionar 3 ao quadrado e 4 ao quadrado, obterá 5 ao quadrado (3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2).

Um triplo pitagórico primitivo é um triplo pitagórico que não é encontrado multiplicando outro triplo pitagórico. O conjunto 3, 4 e 5 é um triplo pitagórico primitivo; multiplicar por 2 resulta no conjunto 6, 8 e 10, que é um triplo não primitivo.

Resultados de Aprendizagem

Depois de ler esta lição, você será capaz de fazer estas tarefas:

  • Identifique um triplo pitagórico
  • Decida se um triplo pitagórico é primitivo ou não
  • Compreenda a fórmula do Teorema de Pitágoras de a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
  • Saiba como usar o teorema de Pitágoras para encontrar triplos pitagóricos