Maiores Fatores Comuns
Maria está preparando arranjos de flores para uma festa. Ela tem 16 rosas vermelhas, 24 cravos brancos e 20 rosas amarelas. Ela quer usar todas as flores e quer ter o mesmo número de cada flor em cada arranjo. Qual é o maior número de arranjos que ela pode fazer?
Para determinar o número de arranjos que Maria pode fazer, vamos encontrar o maior fator comum. Um fator comum é um número que divide dois ou mais números exatamente. Por exemplo, 10 e 20 têm um fator comum de 2 porque ambos são pares. O maior fator comum (GCF) é o maior número que divide dois ou mais números exatamente. Os números 10 e 20 têm o maior fator comum de 10.
Como encontrar o maior fator comum
Para encontrar o GCF, comece listando todos os fatores dos números. Sempre certifique-se de incluir esse número e 1.
Exemplo: vamos tentar usar o GCF para responder à pergunta sobre os arranjos de flores de Maria. Maria deseja determinar o maior número de arranjos que ela pode fazer com o mesmo número de cada flor em cada arranjo. Maria tem 16 rosas vermelhas, 24 cravos brancos e 20 rosas amarelas, então ela lista todos os fatores de 16, 24 e 20.
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Como o GCF é 4, o maior número de arranjos de flores que Maria pode fazer com todas as flores é 4.
Se olharmos para os fatores próximos ao 4 circulado em vermelho, esses números são o número de cada flor em cada um dos 4 arranjos de flores. Cada arranjo terá o mesmo número de cada flor: 4 rosas vermelhas, 6 cravos brancos e 5 rosas amarelas.
Usando GCF para fatorar trinômios
Um trinômio tem três termos compostos de números, variáveis ou o produto de números e variáveis que são somados ou subtraídos. Podemos fatorar trinômios se eles tiverem um GCF.
Exemplo 1:
Fator:
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Já encontramos o GCF dos números 16, 24 e 20, que é 4. Agora, vamos examinar as variáveis. Podemos escrever cada variável o número de vezes que ela está sendo multiplicada.
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Quantas variáveis temos em comum?
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Podemos obter no máximo dois x’s de cada um dos termos do trinômio porque o menor expoente é dois.
O GCF é:
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Conhecer o GCF é apenas metade da batalha do factoring. Para fatorar, precisamos tirar o GCF e escrever o que resta.
Começamos com o primeiro período. 16 dividido por 4 é 4 e tínhamos cinco xs, mas estamos tirando dois xs, então restam três. Para o segundo termo, -24 dividido por 4 é -6, e tínhamos quatro xs, mas estamos tirando dois xs, então restam dois. Para o último termo, 20 dividido por 4 é 5, e tivemos dois xs, mas estamos retirando dois, então não temos xs restantes.
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Observe que, se formos distribuir, o lado direito é igual ao lado esquerdo. Distribuir significa multiplicar tudo dentro dos parênteses pelo que está fora dos parênteses. Quando você fatorar um trinômio, sua expressão ainda deve ser igual ao problema original.
Exemplo 2:
Fator:
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Primeiro, vamos começar com os números 5, 15 e 20.
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O GCF de 5, 15 e 20 é 5.
Agora, vamos examinar as variáveis.
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O GCF das variáveis é x. Observe como o menor expoente das variáveis é 1, então podemos tirar 1 x. O GCF do trinômio é 5x.
Agora, vamos fatorar o trinômio dividindo-o por seu GCF de 5x.
Começamos com o primeiro período. 5 dividido por 5 é 1, e tínhamos quatro x, mas estamos tirando um x, então restam três. Para o segundo termo, -15 dividido por 5 é -3, e nós tínhamos três xs, mas estamos tirando um x, então restam dois. Para o último termo, 20 dividido por 5 é 4, e tivemos um x, mas estamos tirando um x, portanto, não temos x restantes.
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Resumo da lição
O maior fator comum (GCF) é o maior número que divide dois ou mais números exatamente. Para encontrar o GCF de um conjunto de números, simplesmente listamos todos os fatores dos números e, em seguida, encontramos o maior número que é o mesmo para todos os números. Para encontrar o GCF das variáveis, podemos escrever a variável e circular quantas temos em comum. Lembre-se, o menor expoente será o GCF das variáveis.
Um trinômio tem três termos compostos de números, variáveis ou o produto de números e variáveis que são somados ou subtraídos. Para fatorar os trinômios, primeiro encontre o GCF, depois divida o problema original pelo GCF e, a seguir, escreva o resultado entre parênteses ao lado do GCF. Para verificar sua resposta, você pode distribuir o GCF aos termos entre parênteses, e o resultado deve ser o problema original.