O que torna os triângulos semelhantes?
Vamos dar uma olhada nesses triângulos. Provavelmente, existem algumas coisas que se destacam imediatamente. Talvez você tenha notado que eles são girados em direções diferentes ou que o triângulo da esquerda é maior do que o da direita. Talvez você tenha notado que os dois triângulos compartilham marcações semelhantes em seus ângulos. Todas essas são características importantes ao trabalhar com triângulos semelhantes.
Os triângulos semelhantes são dois ou mais triângulos que têm todos os ângulos correspondentes iguais e todos os lados correspondentes proporcionais. Não importa para qual direção os triângulos estão voltados. Seu tamanho não importa, desde que cada lado seja proporcional.
Vocabulário e notações importantes
Existem alguns termos-chave e notações que precisam ser discutidos antes de passarmos a usar as características de triângulos semelhantes para resolver os lados correspondentes.
- Congruente: uma maneira elegante de dizer igual.
- Proporcional: todos os lados correspondentes têm uma proporção consistente. Isso será explicado com mais detalhes quando resolvermos os lados congruentes.
- Correspondente: no caso de triângulos semelhantes, correspondente se refere aos ângulos e lados que estão exatamente no mesmo lugar em ambos os triângulos. Para cada ângulo ou lado de um triângulo, há um lado ou ângulo correspondente no segundo triângulo.
Os arcos desenhados nos ângulos de ambos os triângulos são importantes para nos ajudar a entender quais ângulos são correspondentes ou estão na mesma posição. Isso é especialmente importante quando os triângulos são girados em direções diferentes. Embora esses arcos sejam codificados por cores nesta imagem para tornar o desenho mais claro, os desenhos são normalmente feitos em preto e branco, portanto, devemos olhar para o número de arcos em cada ângulo para identificar seu ângulo correspondente.
Por exemplo, o único arco é desenhado em amarelo. Portanto, o ângulo com o único arco amarelo em cada triângulo semelhante é correspondente. Isso também é válido para os ângulos com os arcos vermelhos duplos e os arcos verdes triplos.
Agora, você quase sempre verá cada triângulo rotulado com letras maiúsculas. Essas letras tendem a estar em ordem alfabética, com cada letra nomeando um dos ângulos. Veja este triângulo, por exemplo.
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O triângulo é identificado com as letras maiúsculas ABC . Isso nos permite fazer conexões fáceis entre ângulos congruentes e lados correspondentes de triângulos semelhantes.
Resolvendo para os lados correspondentes
Vamos usar esses triângulos semelhantes como nosso exemplo.
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Nós podemos ver isso:
- Ângulo A e ângulo D são correspondentes
- Ângulo B e ângulo E são correspondentes
- Ângulo C e ângulo F são correspondentes
Também recebemos todos os comprimentos laterais do triângulo ABC e um dos comprimentos laterais do triângulo DEF . Isso é tudo que precisamos para determinar os outros dois comprimentos laterais para o triângulo DEF .
Apenas para refrescar nossas memórias, proporcional significa que todos os lados correspondentes dos triângulos semelhantes têm uma proporção consistente. Esta é a chave para solucionar os comprimentos ausentes no triângulo DEF . Já determinamos nossos ângulos correspondentes entre os dois triângulos, portanto, podemos usá-los para organizar nossos lados correspondentes.
Olhando para os nossos ângulos correspondentes, vemos que:
- Lado AB e lado DE são correspondentes
- Lado BC e lado EF são correspondentes
- Lado AC e lado DF são correspondentes
Agora, podemos usar esses lados correspondentes para definir uma proporção, ou fração de proporção. Como só sabemos o comprimento de um lado no triângulo DEF – lado DE – devemos usar esse comprimento e o comprimento do lado correspondente do triângulo ABC . Pela lista que fizemos antes, sabemos que o lado AB corresponde ao lado DE .
Olhando para nossos triângulos, podemos ver que o lado AB tem um comprimento de 6 e o lado DE tem um comprimento de 4.
É aqui que nossa proporção entra em jogo. Vamos primeiro resolver para nosso lado EF ausente , que é rotulado como x no triângulo. Começamos escrevendo nossos dois lados correspondentes conhecidos como uma fração de proporção:
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Devemos então configurar uma fração para o nosso lado perdido. Mantendo a estrutura da nossa fração de razão, precisamos colocar nosso lado do triângulo ABC na parte superior e nosso lado do triângulo DEF na parte inferior. Sabemos que o lado EF corresponde ao lado BC . Assim, podemos escrever outra fração de proporção:
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Agora que temos nossa fração de razão e nossa fração desconhecida, podemos defini-las iguais uma à outra e usar a multiplicação cruzada para resolver nosso lado ausente.
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Começamos pela multiplicação cruzada para obter 6 vezes x igual a 4 vezes 7. Em seguida, multiplicamos nosso 4 vezes 7 para obter 6 x igual a 28. A partir daí, dividimos ambos os lados por 6 para obter x por si só, já que este é o que falta lado que estamos tentando encontrar. Isso nos dá uma solução de repetição de 4,6, que arredondamos para 4,67. Isso significa que o comprimento em falta do lado EF é 4,67.
Devemos repetir essas etapas para encontrar nosso lado ausente DF . Olhando para trás na lista que fizemos de lados correspondentes, podemos ver que o lado DF , que é rotulado como y , corresponde ao lado AC , que tem um comprimento de 8.
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Começamos pela multiplicação cruzada para obter 6 vezes y igual a 4 vezes 8. Em seguida, multiplicamos nosso 4 vezes 8 para obter 6 y igual a 32. A partir daí, dividimos ambos os lados por 6 para obter y por si só, já que este é o que falta lado que estamos tentando encontrar. Isso nos dá uma solução de repetição de 5,3, que arredondamos para 5,33. Isso significa que o comprimento ausente do lado DF é 5,33.
Resumo da lição
Conseguimos! Nesta lição, você não apenas aprendeu a definição de triângulos semelhantes, mas também as propriedades que tornam esses triângulos semelhantes. Você sabe que triângulos semelhantes são triângulos que têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Além disso, agora você é um especialista em usar proporções para resolver o lado que falta de um triângulo!