Triângulos direitos especiais
Os triângulos são como as pessoas. Alguns são especiais em certos aspectos. Por exemplo, talvez você seja um ótimo jogador de tênis. Você pode ser a estrela do time do time do colégio. Isso faria de você um jogador de tênis especial, certamente melhor do que a maioria das pessoas no jogo. É como a diferença entre um triângulo retângulo e um triângulo oblíquo. Um triângulo retângulo provavelmente tem um saque perverso.
E então existem triângulos retângulos especiais. Estes não são seus campeões de tênis regionais. Estes são os seus campeões de Wimbledon. Nesta lição, vamos nos concentrar em dois equivalentes do triângulo retângulo da realeza do tênis.
30-60-90
O primeiro triângulo retângulo especial é o triângulo 30-60-90 . Eu sei que parece um plano de telefone celular, mas 30-60-90 refere-se aos ângulos do triângulo.
Você sabe que o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Chamamos o lado oposto ao ângulo de 30 graus de perna curta. Aquele oposto ao ângulo de 60 graus? Essa é a perna longa. Não muito especial, mas muito fácil de lembrar.
Então, o que é especial? A proporção dos comprimentos laterais. Se a hipotenusa for 2, a perna curta será 1 e a perna longa será a raiz quadrada de 3.
Então, como você lembra qual é qual? Pense no comprimento relativo lógico dos lados. A perna curta é o lado mais curto, então esse é o seu 1. E a perna longa é oposta ao ângulo de 60 graus, o que a torna o do meio, então essa é sua raiz quadrada de 3. Finalmente, a hipotenusa é a mais longa, e é oposto ao maior ângulo, então esse é o seu 2.
Existe outra maneira de lembrar disso. Este triângulo é tão bonito, vamos imaginar que ele se olha no espelho:
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Então, agora temos esses dois ângulos de 60 graus na parte inferior, e o ângulo de 30 graus se junta ao seu ângulo de 30 graus refletido para se tornar outro ângulo de 60 graus. O que é isso?
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É um triângulo equilátero, com três ângulos iguais e três lados iguais.
Então, neste triângulo, se um lado é 2, todos os lados são 2. Então, qual seria a nossa perna curta? É a metade do lado inferior, então seria 1.
Claro, você também pode usar sua magia de trigonometria. Ou, se você conhece os dois lados, o Teorema de Pitágoras. Portanto, são quatro maneiras de lembrar a regra 1: 2: sqrt 3.
Prática
Vamos ver o triângulo 30-60-90 em ação. Ok, na verdade não vai jogar tênis nem nada, mas lembrar a proporção pode tornar esses problemas muito fáceis.
Aqui está um triângulo 30-60-90 onde a perna curta é 5:
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Qual é a hipotenusa? Sabemos que se a perna curta é 1, a hipotenusa é 2. Então, o que quer que tenhamos para a perna curta, a hipotenusa é apenas 2 vezes isso. Isso significa que aqui serão 10. Problema resolvido.
E a perna longa? Isso vai ser 5 vezes a raiz quadrada de 3. Às vezes, veremos 5 raiz 3 como uma opção de resposta. Se sim, ótimo! Do contrário, precisamos apenas fazer as contas. A raiz quadrada de 3 é cerca de 1,73. E 5 vezes 1,73 é cerca de 9.
Ok, aqui está um mais difícil:
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Neste triângulo, a perna longa é 11. Quais são os outros dois lados? Vamos começar com o lado mais curto, que é x . Podemos apenas configurar uma equação usando nossa razão. Sabemos que é 1 / (raiz 3) e isso é igual a x / 11. Multiplique cruzado para obter x (raiz 3) = 11. Então x = 11 / (raiz 3). E isso vai ser cerca de 6.
Agora, a hipotenusa é y . Então, fazemos y / 11 = 2 / (raiz 3). Isso nos dá y (root 3) = 11 * 2, que é 22. Portanto, y = 22 / (root 3). Isso vai ser cerca de 13.
45-45-90
Ok, então essa era a nossa Serena Williams – super talentosa, estilosa, empolgante. Há outro triângulo retângulo especial que é um pouco mais parecido com Roger Federer – ainda super talentoso e emocionante, embora talvez um pouco menos estiloso. Esse é o nosso triângulo 45-45-90 .
Observe o que acontece se você virar este triângulo:
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como isso:
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Agora, você percebe o que torna este triângulo especial? É um triângulo isósceles! E é o único tipo de triângulo retângulo isósceles que você pode fazer. Agora, o que é ótimo sobre os triângulos isósceles? As duas pernas são sempre iguais. Isso torna mais fácil encontrar a hipotenusa se você conhecer apenas uma das pernas – basta usar o Teorema de Pitágoras.
Mas você também pode se lembrar dessa regra útil. A proporção dos lados é 1: 1: sqrt 2. Portanto, qualquer que seja uma das pernas, a hipotenusa é exatamente esse número vezes a raiz quadrada de 2.
Além disso, observe que se você colocar dois desses triângulos juntos, obterá um quadrado. Portanto, a área de um desses triângulos é apenas 1/2 vezes o quadrado de uma de suas pernas.
Prática
Vamos praticar encontrar os comprimentos dos lados. Aqui está um triângulo 45-45-90 com uma perna que é 7:
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Qual é o comprimento da hipotenusa? É apenas 7 vezes a raiz quadrada de 2. Isso é cerca de 10. É isso!
Que tal este?
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Sabemos que a hipotenusa é 17. Qual é o comprimento da perna? Isso vai ser 17 / (raiz 2). E isso vai ser cerca de 12.
Resumo da lição
Em resumo, vimos dois tipos especiais de triângulos retângulos:
O primeiro é o triângulo 30-60-90 . Neste triângulo, chamamos o lado oposto ao ângulo de 30 graus de perna curta e o lado oposto ao ângulo de 60 graus de perna longa. Se a perna curta é 1, a perna longa é a raiz quadrada de 3 e a hipotenusa é 2. Nos triângulos 30-60-90, os lados estão sempre nesta proporção.
A seguir, vimos o triângulo 45-45-90 . Estes são triângulos isósceles. As duas pernas têm sempre o mesmo comprimento. E a hipotenusa é apenas a perna vezes a raiz quadrada de 2. E isso é o jogo, pronto, combinado!
Resultados de Aprendizagem
Depois de terminar esta lição, você será capaz de:
- Identifique a proporção dos lados de um triângulo 30-60-90
- Descreva como resolver problemas facilmente quando há um triângulo 45-45-90