Transformações Lineares
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Vá para o norte por 2,5 milhas, vire à esquerda … Estas podem ser as instruções para ir daqui para lá. Em matemática, ‘aqui’ e ‘lá’ podem corresponder a ‘domínio’ e ‘alcance’. O domínio consiste nos valores do eixo x , enquanto o intervalo consiste nos valores do eixo y . Pense em uma função y = f ( x ) como um conjunto de direções: uma transformação de valores de x em valores de y . Por exemplo, a transformação y = x + 2 diz que para transformar os valores de x em valores de y , tome o xvalores e adicione 2. Especificamente, para um valor de domínio de x = 1, a transformação x + 2 leva a um valor de intervalo y = 1 + 2 = 3. O termo mapa também é usado para esta ação de ir ‘aqui’ para ‘há’. Resumindo, uma transformação mapeia valores do domínio para valores no intervalo.
Nesta lição, estudaremos um tipo especial de transformação chamada transformação linear .
Definindo a Transformação Linear
Observe y = x e y = x 2 .
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O gráfico de y = x é uma linha reta. As palavras ‘linha reta’ e ‘linear’ tornam tentador concluir que y = x é uma transformação linear. O outro enredo claramente não é uma linha reta; nossa intuição diz que y = x 2 não é uma transformação linear. Você sabe o que? Para esses exemplos, nossa intuição está correta!
Mas, como será demonstrado mais adiante nesta lição, a intuição pode levar a erros. Precisamos de uma maneira mais sólida de definir uma transformação linear.
Vejamos dois valores de domínio u 1 e u 2 . Eles serão mapeados de domínio para intervalo (representado por v ) com uma transformação T. Em outras palavras, T mapeia u 1 em v 1 e T mapeia u 2 em v 2 .
Escrevemos o mapeamento como:
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Agora, aqui está a maneira sólida de verificar se uma transformação é linear. Uma transformação T é uma transformação linear se ambas as propriedades a seguir forem verdadeiras:
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e
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Podemos escolher qualquer número para a constante α.
Teste com valores
Selecionar valores torna as propriedades mais claras. E se u 1 for 2 e u 2 for 3? Usando y = x :
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Transformar 2 usando y = x produz um valor de intervalo v 1 igual a 2. Mesma ideia para um valor de domínio de 3: o v 2 resultante é 3. Agora, se adicionarmos os dois valores de domínio, 2 + 3, obtemos 5. Transformando esta soma de 5 produz um valor de intervalo de 5. Esse valor é igual à soma de v 1 e v 2 .
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Isso é o que estamos verificando: podemos transformar a soma de dois valores de domínio e obter a mesma soma quando esses valores são transformados separadamente? Para y = x , isso funciona. Ótimo! A primeira propriedade está satisfeita. Isso pode parecer óbvio, mas y = x é uma transformação muito simples.
Para testar a segunda propriedade, T (α u ) = αT ( u ), tente inserir alguns valores para α e u .
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Por exemplo, se u = 2, então ele é transformado em um valor de intervalo T ( u ) = 2. Se α é 3, então αT ( u ) é 3 vezes 2, que é 6. A propriedade que estamos verificando é se estamos multiplicando um valor de domínio por um número e, em seguida, transformando, dá o mesmo resultado que multiplicar após transformar.
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Olhando para α u , obtemos 3 vezes 2, que é 6. Transformando 6 no intervalo, obtemos 6. A segunda propriedade é satisfeita. Conclusão: a transformação y = x é uma transformação linear!
E quanto a y = x 2 ? É hora de escolher valores no domínio. Seja u 1 = 2 e u 2 = 3. Adicione e depois transforme.
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Isso é igual à soma desses valores de domínio transformados separadamente?
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4 + 9 é 13, o que claramente não é 25. Transformar após adicionar não é o mesmo que adicionar após transformar: a primeira propriedade não é satisfeita. Podemos parar de verificar e concluir que y = x 2 não é uma transformação linear. Mas, apenas para praticar, e quanto à segunda propriedade? T (α u ) é igual a αT ( u )? Novamente, com números como u = 2 e α = 3, estamos verificando se multiplicar por uma constante após a transformação é o mesmo que transformar após a multiplicação.
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Não é o mesmo. A segunda propriedade não está satisfeita. Mesma conclusão: esta transformação não é linear.
Um exemplo não intuitivo
Sabemos que a transformação y = x + 1 é uma linha reta.
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Veja por que essa transformação não é linear. Escolhendo alguns valores: u 1 = 2 e u 2 = 3. Então, u 1 + u 2 = 5, T ( u 1 ) = 3, T ( u 2 ) = 4, T ( u 1 + u 2 ) = 6 .
Será que T ( u 1 + u 2 ) = T ( u 1 ) + T ( u 2 )? Isso é perguntar se 6 é igual a 3 + 4. Não é igual. Portanto, essa transformação não é linear. A segunda propriedade também não será satisfeita.
Também resulta que uma transformação linear sempre mapeia 0 a 0. Na origem , x = 0 ey = 0. Uma linha só pode ser uma transformação linear se a linha passar pela origem.
Agora sabemos mais sobre como ir ‘daqui’ para ‘lá’!
Resumo da lição
As transformações mapeiam os números de domínio para intervalo . Se uma transformação satisfaz duas propriedades definidoras , é uma transformação linear . A primeira propriedade trata da adição. Ele verifica se a transformação de uma soma é a soma das transformações. A segunda propriedade trata da multiplicação por uma constante, para verificar se multiplicar após a transformação é o mesmo que transformar após a multiplicação.