Equações e gráficos radicais
Você já notou que os gráficos de certas funções em matemática seguem todos os mesmos padrões? Se você representou graficamente dez equações lineares, todas serão linhas retas. Cada linha terá uma inclinação diferente e estará localizada em um ponto diferente, mas são todas linhas. Se você representar graficamente dez funções quadráticas, todos os gráficos serão em forma de U. Alguns podem ser magros, alguns podem ser gordos, mas todos eles têm o mesmo gráfico em forma de U. Os gráficos das equações radicais também têm a mesma forma básica.
Uma equação radical é uma equação em que a variável x está sob o símbolo do radical ou raiz quadrada. A equação radical mais básica é:
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Chamamos isso de função pai porque não há nada sendo feito para a variável, exceto para a raiz quadrada. Se representarmos graficamente a função pai, obteremos o gráfico abaixo.
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O que você percebe neste gráfico? Você vê que começa na origem, (0,0). Então o gráfico sobe 1 e mais de 1 para o próximo ponto (1, 1). Do ponto de partida, o terceiro ponto é (4, 2). Podemos conectar esses pontos na equação pai original.
A raiz quadrada de 0 é 0.
A raiz quadrada de 1 é 1.
A raiz quadrada de 4 é 2.
O próximo ponto seria (9, 3) porque a raiz quadrada de 9 é 3.
Podemos criar um número infinito de equações radicais e seus gráficos correspondentes adicionando números à equação pai.
Forma padrão de uma equação radical
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Na equação acima, temos três variáveis que representam números que irão alterar a localização, forma e tamanho do gráfico.
Mudanças no tamanho
O a altera o tamanho do gráfico.
- Se a for maior que um, o gráfico será comprimido.
- Se a estiver entre zero e um, o gráfico será expandido.
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Desde a um valor é 2, este gráfico é comprimido, o que significa que é um pouco mais estreito.
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Mudanças na forma
Um valor negativo a refletirá o radical sobre o eixo x
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Mudanças na localização
Os h e k valores de mudar a localização do gráfico. (h, k) é o ponto de partida do gráfico.
- h move o gráfico para a esquerda ou direita.
- k move o gráfico para cima ou para baixo.
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Exemplo:
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Observe que o 1 está do lado de dentro e é negativo, portanto, este gráfico será movido para a direita 1.
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Exemplo:
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Como 2 está do lado de fora e é negativo, o gráfico cairá 2 unidades.
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Podemos colocar essas transformações juntas em um gráfico. Pode haver no máximo quatro transformações de uma vez.
Exemplos:
1. Descreva as transformações que ocorrem na seguinte equação.
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Observe que há três números nesta equação. Cada número representa uma transformação diferente.
- a é 1/2, então este gráfico é expandido em 1/2
- h está no interior e é 3 negativo, portanto este gráfico é deslocado 3 unidades para a direita.
- k está do lado de fora e positivo, então este gráfico é deslocado para cima 2 unidades.
2. Descreva as transformações que ocorrem na seguinte equação.
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Observe que há três números nesta equação. Cada número representa uma transformação diferente.
- a é 3, portanto, este gráfico é compactado por 3.
- a também é negativo, portanto, este gráfico é refletido no eixo x.
- h está no interior e é positivo, portanto, este gráfico é deslocado para a esquerda 4 unidades.
- k está do lado de fora e negativo, portanto, este gráfico é deslocado 5 unidades para baixo.
Resumo da lição
Existem quatro transformações que podem ocorrer em equações radicais no plano de coordenadas. Podemos usar a equação para determinar as diferentes transformações.
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- a expandiu o gráfico se um número entre 0 e 1.
- a comprime o gráfico se for um número maior que 1.
- a reflete o gráfico sobre o eixo x, se negativo.
- h desloca o gráfico para a esquerda se positivo.
- h desloca o gráfico para a direita se negativo.
- k desloca o gráfico para cima, se positivo.
- k desloca o gráfico para baixo, se negativo.