Transformações de congruência
Todos estamos cientes de que, quando nos olhamos no espelho, vemos a nós mesmos ou uma imagem de nós mesmos que parece exatamente igual a nós. Essa atividade pode ser comparada a nos refletirmos sobre o espelho de modo que estejamos olhando para nós mesmos. Em matemática, isso é chamado de reflexão e é um exemplo de transformação de congruência.
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Dizemos que dois objetos são congruentes se tiverem a mesma forma e tamanho. Por exemplo, nossos reflexos em um espelho têm a mesma forma e tamanho que nós, então diríamos que somos congruentes com nosso reflexo em um espelho.
Como dissemos, nosso reflexo no espelho pode ser pensado como um reflexo ou uma inversão de nós mesmos sobre o espelho, de modo que estejamos olhando para nós mesmos. Em outras palavras, podemos mover um objeto original, nós mesmos, de forma que cabemos exatamente sobre nossa imagem no espelho. Esta é outra maneira de definir objetos congruentes. Ou seja, dois objetos são congruentes se pudermos mover um dos objetos, sem alterar sua forma ou tamanho, de forma que ele se encaixe exatamente sobre a outra imagem, e chamamos esses movimentos de transformações de congruência.
As transformações de congruência são transformações realizadas em um objeto que criam um objeto congruente. Existem três tipos principais de transformações de congruência:
- Tradução (um slide)
- Rotação (uma volta)
- Reflexão (uma virada)
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Podemos usar essas três transformações para determinar se dois objetos são congruentes, vendo se podemos ir de um dos objetos para o outro usando apenas essas transformações de congruência.
Por exemplo, considere os dois retângulos mostrados na imagem.
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Observe que se deslizarmos o retângulo 1 para cima e para a direita, ele terminará exatamente sobre o retângulo 2. Portanto, podemos obter o retângulo 2 tomando o retângulo 1 por meio de uma transformação de congruência (translação), de modo que os dois retângulos sejam congruentes.
Existem muitos teoremas relacionados com transformações de congruência. Vamos dar uma olhada em alguns deles realmente interessantes!
Teorema das reflexões em linhas paralelas
O primeiro teorema que vamos dar uma olhada é o teorema das reflexões em linhas paralelas . Este teorema afirma que se duas linhas, l 1 e l 2 , são paralelas e você reflete uma forma sobre l 1 e depois sobre l 2 , o resultado é o mesmo que uma tradução da forma original. Além disso, essa translação ocorre na direção perpendicular às linhas paralelas e é duas vezes a distância entre as linhas paralelas.
Por exemplo, suponha que duas retas, l 1 e l 2 , sejam paralelas. Agora, considere pegar um triângulo e refleti-lo sobre l 1 e, em seguida, pegar essa imagem e refleti-la sobre l 2 .
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Observe que fazer isso também pode ser alcançado ao traduzir o triângulo original para a direita. Como o teorema das reflexões em linhas paralelas afirma, esse sempre será o caso.
Bem, isso é muito legal! Vamos considerar outro teorema envolvendo transformações de congruência.
Teorema de reflexões em linhas que se cruzam
Este teorema é semelhante ao teorema das reflexões em linhas paralelas, mas tem a ver com refletir sobre linhas que se cruzam em vez de linhas paralelas, então o resultado é diferente. O teorema das reflexões em linhas que se cruzam afirma que, se duas linhas, l 1 e l 2 , se cruzam e refletimos uma forma sobre l 1 e depois sobre l 2 , o resultado é o mesmo que uma rotação da forma original. Essa rotação é em torno do ponto de intersecção das duas linhas e cobre um ângulo que é duas vezes o ângulo entre as linhas que se cruzam.
Por exemplo, suponha que duas retas, l 1 e l 2 , se cruzem em algum ponto, e refletimos um triângulo sobre l 1 , e então refletimos essa imagem sobre l 2 .
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Podemos ver que também podemos obter a imagem final girando o triângulo original em torno do ponto de intersecção das duas linhas.
Veja como os dois teoremas diferem? Se estivermos refletindo sobre duas linhas paralelas, a mesma imagem pode ser obtida por meio de uma transformação de congruência de translação, enquanto se estivermos refletindo sobre duas linhas que se cruzam, a mesma imagem pode ser obtida por meio de uma transformação de congruência de rotação.
Por fim, vemos que realizar transformações de congruência em um objeto resulta em objetos congruentes. Podemos usar essas transformações para criar objetos congruentes ou podemos usá-las para verificar se dois objetos são congruentes!
Resumo da lição
Dois objetos são congruentes se tiverem o mesmo tamanho e forma. Também podemos definir objetos como congruentes se pudermos mover um objeto para obter o outro objeto por meio de uma transformação de congruência . Uma transformação de congruência é uma transformação que não altera o tamanho ou a forma de um objeto. Existem três tipos principais de transformações de congruência: reflexos (flips), rotações (voltas) e translações (slides). Essas transformações de congruência podem ser usadas para obter formas congruentes ou para verificar se duas formas são congruentes.
As transformações de congruência são interessantes, porque várias combinações de transformações são equivalentes a várias outras combinações de transformações. Por exemplo, o teorema dos reflexos em linhas paralelas afirma que, se refletirmos uma imagem em duas linhas paralelas, é o mesmo que traduzir essa imagem. Da mesma forma, o teorema dos reflexos nas linhas que se cruzam afirma que, se refletirmos uma imagem sobre duas linhas que se cruzam, é o mesmo que girar a imagem em torno do ponto de intersecção das duas linhas.
As transformações de congruência acontecem o tempo todo em nossa vida diária. Deslizar um pedaço de papel sobre uma mesa, olhar no espelho ou as letras de um pneu girando com o pneu. Quem diria que esses eventos cotidianos comuns poderiam ser tão matemáticos?