Expoentes
Um expoente , também conhecido como potência, tem a seguinte aparência: 5 ^ 2. O expoente nos diz quantas vezes um número ou variável é multiplicado por ele mesmo. Portanto, 5 ^ 2 é 5 vezes ele mesmo, ou 5 * 5. 5 ^ 3 é 5 * 5 * 5.
Pense em coelhos. Quem não gosta de pensar em coelhos? Eles são adoráveis. Bem, certamente devem pensar assim, porque têm uma certa reputação. Você começa com dois coelhos, depois tem quatro. Isso é 2 * 2 ou 2 ^ 2. Então você tem 8 coelhos. Isso é 2 ^ 3 ou 2 * 2 * 2. Então você tem 16 coelhos, que são 2 ^ 4, ou 2 * 2 * 2 * 2. Então você decide que os coelhos não são mais tão fofos.
Expoentes Fracionários
Mas e se você tiver algo assim: 9 ^ (1/2)? Como isso se relaciona com os coelhos?
Este é um expoente fracionário ou uma potência fracionária. Como você multiplica algo por si mesmo uma quantidade fracionária de vezes?
Pense no que é uma fração. 1/2 é metade de um. É menos de um. E um expoente fracionário envolve encontrar menos de um de alguma coisa. Quanto menos de um? Bem, você provavelmente viu 9 ^ (1/2) antes, embora não se parecesse com isso. Parecia a raiz quadrada de 9.
Qual é a raiz quadrada de 9? 3. Como sabemos disso? Porque 3 * 3 = 9. E isso é o que 9 ^ (1/2) é. É a raiz quadrada de 9.
Quando temos um expoente fracionário, o denominador representa o nível raiz. Podemos dizer que x ^ (1 / n ) é o n º raiz de x . Portanto, 9 ^ (1/3) é a raiz cúbica de 9. 9 ^ (1/4) é a quarta raiz de 9.
Lembra quando tínhamos 16 coelhos? Se fizermos 16 ^ (1/4), encontraremos a quarta raiz de 16, que é 2. Isso é o que acontece quando damos todos aqueles filhotes de coelhos para nossos amigos desavisados. Como nós, eles precisarão aprender sobre expoentes de números inteiros regulares antes de aprenderem como os expoentes fracionários podem ser incríveis.
A propósito, você pode ver uma fração onde o numerador não é 1. Não se preocupe; funciona exatamente como você espera. Observe x ^ ( m / n ). O que é m / n ? É o mesmo que m * 1 / n , de modo que m funciona como um expoente regular. Assim, x ^ ( m / n ) = o n ° de raiz x ^ m .
Se tivéssemos 27 ^ (2/3), podemos pensar nisso como a raiz cúbica de 27 ^ 2. 27 ^ 2 é 729. A raiz cúbica de 729 é 9. Também poderíamos pensar nisso como o quadrado da raiz cúbica de 27. A raiz cúbica de 27 é 3. 3 ^ 2? Sim, ainda 9.
Multiplicando expoentes fracionários
Se, por algum motivo, decidirmos que queremos construir uma fazenda de coelhos, vamos precisar pensar grande. Isso significa multiplicação e expoentes. O que acontece quando multiplicamos dois números com expoentes, como 3 ^ 2 * 3 ^ 4? Recebemos 3 ^ 8? Não. Uma das leis dos expoentes nos diz que adicionamos os expoentes. Portanto, 3 ^ 2 * 3 ^ 4 = 3 ^ (2 + 4), que é 3 ^ 6. Isso ainda é muita fofura de orelhas caídas.
Mas não apenas criamos coelhos para nos maravilharmos com seus poderes de multiplicação. Também os vendemos como animais de estimação. Cuidado com o inquieto com o cronômetro. Mas reduzir nossa população de coelhos significa expoentes fracionários.
Quando multiplicamos expoentes fracionários , ainda somamos os expoentes. Portanto, 3 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) = 3 ^ (1/2 + 1/2). O que é 1/2 + 1/2? 1. Então, 3 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) = 3 ^ 1, que é apenas 3. Pense nisso por um segundo. Estamos dizendo que a raiz quadrada de 3 vezes a raiz quadrada de 3 é 3, o que faz sentido, certo?
Exemplos
Vejamos mais alguns exemplos. E sobre 144 ^ (1/4) * 144 ^ (1/4)? Queremos somar esses 1/4 para obter 2/4, que é 1/2. Portanto, temos 144 ^ (1/2). Essa é a raiz quadrada de 144, que é 12. Você já contou 144 coelhos? Isso daria um monte de ensopado de coelho … Oh, me desculpe.
Que tal 64 ^ (1/9) * 64 ^ (2/9)? Bem, 1/9 + 2/9 é 3/9 ou 1/3. Então, queremos a raiz cúbica de 64, e isso é 4.
Vamos tentar mais um: 64 ^ (1/3) * 64 ^ (1/3). Bem, 1/3 + 1/3 = 2/3. Portanto, temos 64 ^ (2/3). Lembre-se, podemos pensar nisso como a raiz cúbica de 64 ^ 2 ou o quadrado da raiz cúbica de 64. Bem, a raiz cúbica de 64 é 4. E 4 ^ 2? Isso é 16. Portanto, 64 ^ (2/3) = 16.
Resumo da lição
Para resumir, começamos com uma atualização sobre os expoentes. Um expoente nos diz quantas vezes um número é multiplicado por ele mesmo. Pense em coelhos se multiplicando exponencialmente.
Em seguida, aprendemos sobre expoentes fracionários. x ^ (1 / n ) diz-nos para encontrar o n º raiz de x . Portanto, 81 ^ (1/3) seria a raiz cúbica de 81.
O numerador representa o nosso número inteiro expoente, então x ^ ( m / n ) é o mesmo que o n ° de raiz x ^ m .
Quando multiplicamos expoentes juntos, a lei dos expoentes nos instrui a somar os expoentes. 5 ^ 3 * 5 ^ 3 é 5 ^ 6.
Com expoentes fracionários, a mesma lei se aplica. 16 ^ (1/4) * 16 ^ (1/4) é 16 ^ (1/4 + 1/4), que é 16 elevado a 2/4 da potência, ou 1/2.
Também podemos ter aprendido que os coelhos não são apenas fofos, eles são uma indústria de orelhas caídas.
Resultados de Aprendizagem
Depois de revisar esta vídeo-aula, você será capaz de:
- Explique o que fazer com os números quando houver um expoente fracionário
- Multiplique números com expoentes fracionários