Probabilidade Básica
A probabilidade é definida como um número entre 0 e 1 que representa a probabilidade de um evento acontecer. Uma probabilidade de 0 indica que não há chance desse evento ocorrer, enquanto uma probabilidade de 1 significa que o evento ocorrerá. Se estiver trabalhando em um problema de probabilidade e tiver uma resposta negativa, ou uma resposta maior que 1, você cometeu um erro! Volte e verifique seu trabalho.
Visualizando Probabilidade
Existem várias maneiras de visualizar as probabilidades, mas a maneira mais fácil de pensar sobre elas é usar o método da fração : transforme os termos em uma fração dividindo o número de resultados desejáveis pelo número total de resultados possíveis. Isso sempre dará a você um número entre 0 e 1. Por exemplo, quais são as chances de rolar um número ímpar em um dado de 6 lados? Há um total de seis números e três números ímpares: 1, 3 e 5. Portanto, a probabilidade de rolar um número ímpar é 3/6 ou 0,5. Você pode usar esta fórmula ao realizar cálculos mais difíceis, como veremos mais tarde na lição.
Nesta fórmula:
- P (A) é lido como ‘a probabilidade de A ‘, onde A é um evento no qual estamos interessados.
- P (A | B) é lido como ‘a probabilidade de A dado B ocorrer’.
- P (não A) é lido como ‘a probabilidade de não A ‘ ou ‘a probabilidade de que A não ocorra’.
Regras de Probabilidade
Existem três regras principais associadas à probabilidade básica: a regra de adição, a regra de multiplicação e a regra de complemento. Você pode pensar na regra de complemento como a ‘regra de subtração’ se isso ajudar você a se lembrar dela.
1.) A regra de adição : P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A e B)
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos , ou aqueles que não podem ocorrer juntos, então o terceiro termo é 0, e a regra se reduz a P (A ou B) = P (A) + P (B) . Por exemplo, você não pode jogar uma moeda e vê-la sair cara e coroa em um lance.
2.) A regra de multiplicação : P (A e B) = P (A) * P (B | A) ou P (B) * P (A | B)
Se A e B são eventos independentes , podemos reduzir a fórmula para P (A e B) = P (A) * P (B) . O termo independente se refere a qualquer evento cujo resultado não é afetado pelo resultado de outro evento. Por exemplo, considere o segundo de dois lançamentos de moeda, que ainda tem uma probabilidade de 0,50 (50%) de dar cara, independentemente do que aconteceu no primeiro lançamento. Qual é a probabilidade de que, durante os dois lançamentos de moeda, você obtenha coroa no primeiro lançamento e cara no segundo?
Vamos fazer os cálculos: P = P (coroa) * P (cara) = (0,5) * (0,5) = 0,25
3.) A regra do complemento : P (não A) = 1 – P (A)
Você entende por que a regra de complemento também pode ser considerada a regra de subtração? Esta regra se baseia na natureza mutuamente exclusiva de P (A) e P (não A) . Esses dois eventos nunca podem ocorrer juntos, mas um deles sempre deve ocorrer. Portanto, P (A) + P (não A) = 1. Por exemplo, se o meteorologista diz que há 0,3 chance de chuva amanhã, quais são as chances de não chover?
Vamos fazer as contas: P (sem chuva) = 1 – P (chuva) = 1 – 0,3 = 0,7
Lei da Probabilidade Total
Lei da Probabilidade Total : P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | não B) * P (não B)
Por exemplo, qual é a probabilidade de a cor favorita de uma pessoa ser azul se você souber o seguinte:
- Os canhotos têm o azul como cor favorita 30% das vezes
- Pessoas destras gostam de azul 40% do tempo
- Os canhotos representam 10% da população
Vamos completar a equação:
1.) P (Azul) = P (canhoto) * P (como azul | canhoto) + P (não canhoto) * (P (como azul | não canhoto)
2.) P (azul) = (0,1) (0,3) + (0,9) (0,4)
3.) P (azul) = 0,03 + 0,36 = 0,39
Portanto, a probabilidade de a cor favorita de uma pessoa ser azul é de 39%.
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes , é um método para trabalhar com propriedades condicionais. Afirma que:
P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / P (B)
Usando a lei da probabilidade total para expandir o teorema de P (B) Bayes, também podemos escrever:
P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / {P (A) * P (B | A) + P (não A) * P (B | não A)}
Você pode usar o teorema de Bayes para calcular P (A | B) quando tiver informações limitadas sobre outras quantidades. Por exemplo, digamos que um piloto selecionado aleatoriamente no Tour de France tenha testado positivo para drogas para melhorar o desempenho. O teste tem 95% de precisão. Qual é a probabilidade deste atleta estar envolvido em atividades ilegais se 1% dos atletas trapaceiam dessa maneira?
Vamos configurar nossa equação e realizar os cálculos:
1.) P (trapaça | Positivo) = {P (positivo | trapaça) * P (trapaça)} / {P (positivo | trapaça) * P (trapaça) + P (positivo | não trapacear) * P (não trapacear) }
2.) P (trapaça | Positivo) = (0,95) (0,01) / {(0,95) (. 01) + (. 05) (. 99)}
3.) P ( trapaça | Positivo) = 0,0095 / 0,0095 + 0,0495
4.) P ( trapaça | Positivo) = 0,0095 / 0,059
5.) P ( trapaça | Positivo) = 0,1610
Em seguida, seguimos as regras matemáticas para transformar um decimal em uma fração e concluímos a operação:
100% – 16,1% = 83%
Embora o teste seja bastante preciso e o teste deste piloto seja positivo, nossos resultados nos fornecem uma resposta diferente daquela que esperávamos. Depois de calcular a probabilidade, há 83% de chance desse piloto não estar fazendo nada ilegal!
Resumo da lição
A probabilidade se refere a um número entre 0 e 1 e envolve eventos mutuamente exclusivos ou independentes. Eventos mutuamente exclusivos não podem acontecer ao mesmo tempo, enquanto eventos independentes não afetam a probabilidade uns dos outros.
Existem três regras básicas associadas à probabilidade: as regras de adição, multiplicação e complemento.
- A regra de adição é usada para calcular a probabilidade do evento A ou evento B acontecer; nós o expressamos como: P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A e B)
- A regra de multiplicação é usada para determinar a probabilidade de os eventos A e B acontecerem; nós o expressamos como: P (A e B) = P (A) * P (B | A) ou P (B) * P (A | B)
- A regra do complemento afirma que P (não A) = 1 – P (A)
A lei da probabilidade total pode facilitar o cálculo da probabilidade quando dados outros fatos; nós o expressamos como:
P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | não B) * P (não B)
Também podemos usar o teorema de Bayes para calcular probabilidades condicionais:
P (A | B) = {P (B | A) x P (A)} / P (B)