Ângulo e medidas de arco em círculos
Vamos começar esta lição tentando imaginar que você está tentando criar um logotipo para uma nova empresa que está criando. Você deseja usar círculos e linhas para criar seu logotipo. Como você é um perfeccionista, quer ter certeza de que está usando os ângulos e arcos corretos em seu logotipo. Você sabia que existe uma relação específica entre os ângulos e arcos que são formados por retas e círculos?
Podemos encontrar a medida dos ângulos que são formados dentro, fora e em um círculo se conhecermos as medidas do arco. Por outro lado, também podemos encontrar a medida dos arcos se conhecermos certos ângulos que são formados dentro, fora ou em um círculo.
Alguns termos-chave
As linhas desenhadas dentro e através de círculos têm nomes específicos. Você deve se lembrar que um raio é o comprimento de uma linha desenhada do centro de um círculo até um ponto no círculo. Você também deve se lembrar que um diâmetro é um segmento de linha que é desenhado de um ponto em um círculo para outro ponto, mas passa pelo centro. Outras linhas menos conhecidas incluem tangentes, secantes e acordes.
Você já ouviu alguém dizer que saiu pela tangente? Bem, isso é porque se um círculo representa sua linha de pensamento, e você deixa sua linha de pensamento e começa a falar sobre outra coisa, você saiu pela tangente. Uma tangente é uma linha que cruza um círculo em exatamente um ponto.
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Outra definição que devemos observar é a linha que é desenhada através de um círculo, que é chamada de secante . Uma secante pode ter um ponto final em um círculo, com a outra extremidade da linha continuando através do círculo. Uma secante também pode percorrer todo o caminho através de um círculo sem pontos finais.
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Depois, há um segmento que possui pontos finais em um círculo, que é chamado de acorde . Um acorde pode ser desenhado em qualquer lugar dentro de um círculo. Se a corda passar pelo centro de um círculo, é chamado de diâmetro.
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Cada uma dessas linhas pode ser usada para criar ângulos e arcos em um círculo. Existem regras específicas para encontrar medidas de ângulo e arco, dependendo de onde os ângulos são desenhados e as linhas usadas para desenhá-los. As linhas criam arcos interceptados , que são os arcos formados por cordas, tangentes ou secantes. Nesta imagem, AB é o arco interceptado porque é interceptado pelos acordes AC e CB.
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Ângulos formados dentro de um círculo
Os ângulos que são formados dentro de um círculo por duas cordas criam quatro arcos em um círculo, que você pode ver neste diagrama. A medida do ângulo é igual à metade da soma dos arcos interceptados.
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O ângulo x é igual a metade da soma dos arcos interceptados. O arco interceptado a é o arco de C a D. O arco interceptado b é o arco de A a B. Para encontrar o ângulo, adicionamos os arcos e dividimos por 2, como você pode ver nesta fórmula.
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Aqui está um exemplo:
Encontre o comprimento do ângulo x .
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Como esse ângulo está dentro de um círculo formado por duas cordas, adicionaremos os arcos e dividiremos por 2.
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Isso, por sua vez, nos dá nossa resposta, que (como você pode ver aqui) é 145 graus.
Ângulos formados fora de um círculo
Os ângulos que são formados fora de um círculo podem ser formados de três maneiras:
- Duas tangentes
- Duas secantes
- Tangente e secante
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A fórmula para encontrar a medida do ângulo é a mesma para todas as três abordagens. O ângulo formado fora de um círculo é igual à metade da diferença dos arcos maiores interceptados e do arco menor interceptado, como você pode ver em nossa fórmula que aparece aqui.
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Aqui está um exemplo:
Encontre a medida do ângulo formado pela tangente e secante nesta imagem.
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O arco maior tem 205 graus e o arco menor tem 55 graus. Tudo o que precisamos fazer é subtrair e dividir por 2.
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Como você pode ver, isso nos dá 75 graus para nossa resposta.
Arcos tangentes e interceptados
Ângulos que são formados por uma tangente e um arco interceptado são formados no círculo. Eles são formados por uma tangente e um acorde.
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Para encontrar a medida do ângulo, simplesmente dividimos o arco por 2.
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Vejamos um exemplo:
Vamos encontrar a medida do ângulo.
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Como sabemos que o arco tem 110 graus, simplesmente o dividimos por 2, o que nos dá uma resposta de 55 graus.
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Resumo da lição
Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos nesta lição. Primeiro, revisamos os termos do nosso círculo. Que o raio é o comprimento de uma linha desenhada do centro de um círculo até um ponto no círculo, enquanto o diâmetro é um segmento de linha que é desenhado de um ponto em um círculo a outro ponto, mas passa pelo centro.
Depois de recapitular os termos básicos envolvidos na medição de qualquer coisa relacionada a círculos, aprendemos que existem três tipos de segmentos dentro de círculos:
- Tangentes são linhas que cruzam um círculo em um ponto.
- Secantes são linhas que cruzam um círculo em dois pontos, o que significa que passam pelo círculo.
- Cordas são segmentos que possuem pontos finais em um círculo.
Existem três tipos de ângulos que podem ser formados com esses segmentos. Todos os ângulos têm fórmulas específicas.
- Ângulos formados dentro de um círculo por dois acordes: adicione os arcos e divida por 2.
- Ângulos formados fora de um círculo por quaisquer dois segmentos: subtraia o arco menor do arco maior e divida por 2.
- Ângulos formados em um círculo por uma tangente e uma corda: divida o arco interceptado por 2.