Funções contínuas
Uma função contínua em matemática é definida como uma função que é definida em cada ponto de seu domínio. Basicamente, uma função cujo gráfico é uma curva contínua em seu domínio é uma função contínua.
Em termos matemáticos, uma função f (x) é considerada contínua em um ponto c se, e somente se, satisfizer as seguintes condições:
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As funções que são contínuas em todos os pontos de seu domínio são funções contínuas.
Vamos ver um exemplo:
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O domínio desta função são todos os números reais [- ∞, + ∞]. Esta função satisfaz todas as três condições, portanto é uma função contínua, como pode ser visto em seu gráfico.
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Teoremas de funções contínuas
Veremos agora dois importantes teoremas relativos às funções contínuas: o teorema do valor intermediário e o teorema do valor extremo.
1. Teorema do valor intermediário
Para o teorema do valor intermediário , vamos assumir uma função f (x) que é contínua entre [ a, b ]. Suponhamos que haja um número p entre f (a), e f (b) . Este teorema indica que deve haver pelo menos um valor q entre um e b , de tal modo que f (q) = p .
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Tomando o exemplo da função anterior,
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Entre a faixa [0,4], existe um valor f (q) = 4 para q = 2, que pode ser ilustrado assim:
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Pode haver funções que possuem mais de um ponto entre a e b com o mesmo valor. Vamos considerar um intervalo de [-4,4] para nosso exemplo anterior. Nesse caso, obtemos o valor f (q) = 4 em dois pontos: q = -2 eq = +2, como podemos ver neste gráfico.
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2. Teorema do valor extremo
Agora, quando se trata do teorema do valor extremo , que afirma que para uma função contínua f (x) no intervalo [ a, b ], haverá um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Para uma função f (x) que é contínua no intervalo [ a, b ], haverá dois pontos c e d tais que f (c) será o máximo absoluto ef (d) será o mínimo absoluto ao longo de [ a, b ], como pode ser visto aqui:
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Tomando o mesmo exemplo de antes, no intervalo [1,2], o máximo e mínimo absolutos para a função serão 4 e 1 nos pontos 2 e 1, respectivamente, o que pode ser visto neste gráfico:
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Resumo da lição
Nesta lição, você aprendeu sobre as funções contínuas e as condições que uma função deve cumprir para ser uma. É basicamente uma função que possui um gráfico contínuo e ininterrupto entre dois pontos. Em seguida, vimos dois teoremas importantes relativos a funções contínuas:
- Teorema do valor intermediário : afirma que para uma função f (x) que é contínua entre [ a, b ], e há um número p entre f (a) e f (b) , então deve haver pelo menos um valor q entre a e b , de modo que f (q) = p
- Teorema do valor extremo : afirma que para uma função contínua f (x) no intervalo [ a, b ], haverá um máximo absoluto e um mínimo absoluto