Teorema do valor médio
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Vamos considerar o gráfico de sua velocidade em função do tempo. Aqui, eu tenho sua velocidade entre algum tempo a e tempo b . Eu sei que a área sob essa curva vai ser igual à distância que viajaram de tempo um ao tempo b . Também sei que a área sob essa curva será a integral de v (t) dt de t = a até t = b .
Digamos que descobri que essa área tem 120 milhas. E meu tempo total de a até b é de 2 horas. Diga a = 0 e b = 2. Se eu andei 120 milhas em 2 horas, então você sabe que a velocidade média era de 60 mph. Isso é 120 / 2. Uma maneira de escrever isso matematicamente é dizendo que a média é igual a 1 / delta t (que é b – a , meu tempo total) vezes a integral de a até b v (t) dt, que é a área sob a curva. Portanto, minha média é a área sob a curva dividida por minha largura aqui. Isso vai me dar uma altura média, se você quiser. Além disso, como minha velocidade é contínua, sei que em algum ponto deste gráfico, eu estava indo a exatamente 60 mph. Isso porque eu tinha uma média de 60 mph. Às vezes eu estava indo a mais de 60, às vezes eu estava indo a menos de 60. Mas em pelo menos um ponto neste gráfico, eu estava indo a exatamente 60 mph. Eu devia estar indo na média.
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Exemplo
Vamos dar um exemplo. Digamos que y = 9 – x ^ 2 entre 0 e 3. Vou tirar a integral de 0 a 3 de 9 – x ^ 2. Digamos que eu possa encontrar exatamente a área sob esta curva. Essa área é 18.
Eu sei que meu valor médio de y será 1 / delta x – que é x de um lado menos x do outro – vezes a integral de a até b , então a integral sobre a região, de f (x) dx . Tudo isso é a área dividida pela largura. Aqui, minha largura é 3 – porque é 3 – 0, essa é minha largura em x – e minha área que eu disse que calculei ser 18. Portanto, o valor médio de y ao longo de toda esta região aqui será 6.
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Vamos desenhar isso. É importante observar que, com esse valor médio, posso desenhar uma linha em, digamos, y = 6, portanto, direto, essa é a média de y para esta região. Então, se eu pegar esta área acima de y = 6, a área sob a curva acima de y = 6, posso realmente preencher a área abaixo de y = 6, mas acima da minha curva. Isso significa que esta área aqui é igual a esta área aqui.
A segunda coisa é que, como minha função aqui é contínua ( y = 9 – x ^ 2 é contínua), em algum ponto entre 0 e 3, essa curva deve ser igual a y = 6. É exatamente como quando eu estava dirigindo; se eu estivesse fazendo uma média de 60 mph, em algum ponto da rodovia eu teria que estar indo a 60 mph.
Resumo da lição
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Vamos revisar. O valor médio e o teorema do valor médio dizem que a média de alguma função f (x) é igual a 1 dividido pela largura da região (se minha região vai de a a b , isso é 1 / ( b – a )) vezes a integral de a até b de f (x) dx . Isso é pegar a área e dividi-la pela largura. Isso vai me dar uma altura média. Para uma função contínua , a média de f (x) deve ser igual a algum ponto ao longo desta curva pelo menos uma vez. Aqui, escrevo isso como a média de f (x) entre a eb será igual a f (c) para algum c entre a e b , que é algum valor de x entre a e b .