Usando o Teorema do Valor Intermediário
O teorema do valor intermediário diz que se você tem alguma função f (x) e essa função é uma função contínua , então se você está indo de a para b ao longo dessa função, você vai atingir todos os valores em algum lugar naquela região ( a a b ). Bem, por que isso é útil? Isso ajuda você a aprender muito sobre as funções sem precisar representá-las graficamente.
Por exemplo, se você tem a função f (x) = x ^ 3 + x ^ 2, você pode começar a observar o que f (x) é igual para vários valores de x , como se x = 0, então f ( x) = 0 ^ 3 + 0 ^ 2 ou apenas zero. Quando x = 1, f (x) = 1 ^ 3 + 1 ^ 2 ou 2. Quando x = 2, f (x) = 2 ^ 3 + 2 ^ 2, que é 12.
| x | f (x) | |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 1 | 2 | |
| 2 | 12 |
Ok, ótimo, então você tem esta tabela aqui de valores x e valores f (x) . Bem, sabemos que f (x) é uma função contínua, então podemos usar esses dados para determinar que f (x) será igual a 1 em algum lugar entre 0 e 1. Como sabemos isso? Bem, f (0) = 0, ef (1) = 2, então algum valor entre 0 e 1 me dará f (x) = 1. Outro exemplo é f (x) = 10. Bem, para o valor de x é que f (x) = 10? Não sei, não está realmente no meu gráfico, mas sei que f (1) = 2 ef (2) = 12, então algum valor entre 1 e 2 me dará f (x)= 10. Posso fazer um gráfico para verificar que f (x) = 1 entre 0 e 1 ef (x) = 10 entre 1 e 2.
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Encontrando as raízes
Vejamos outro exemplo. Neste exemplo, encontraremos as raízes de uma equação. Então, digamos que temos f (x) = 4 x – x ^ 2 – 3. Queremos saber quando f (x) = 0. Isso é chamado de encontrar as raízes de f (x) . Semelhante ao último exemplo, vamos fazer uma tabela com x e f (x) . Quando x = 0, f (x) = -3, porque temos (4) (0) – 0 ^ 2 – 3. Quando x = 2, f (x) = 1. Quando x = 4, f (x) = -3.
| x | f (x) | |
|---|---|---|
| 0 | -3 | |
| 2 | 1 | |
| 4 | -3 |
Então, isso nos diz quando f (x) será igual a zero? Bem, vamos dar uma olhada nos três valores que calculamos e colocá-los em um gráfico. Portanto, tenho f (x) e x . Quando x = 0, f (x) = -3. Quando x = 2, f (x) = 1. Quando x = 4, f (x) = -3. Agora, porque eu sei que 4 x – x ^ 2 – 3 é uma função contínua, eu sei que para ir de -3 a 1, minha função tem que viajar por f (x) = 0. Da mesma forma, para ir de 1 a -3, f (x) deve passar por zero. Então, em algum ponto, entre 0 e 2, eu tenho uma raiz – há algum lugar onde f (x)= 0 para um valor x entre 0 e 2. Da mesma forma, entre 2 e 4, eu sei que f (x) será igual a zero em algum ponto, então há um valor x entre 2 e 4. Eu sei para esta equação particular, I têm pelo menos duas raízes: uma entre 0 e 2 e outra entre 2 e 4. Ainda poderíamos ter resolvido esse problema por fatoração, então que tal outro exemplo?
Encontrar as raízes como uma solução
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Que tal tentar encontrar uma solução para x ^ 2 = cos ( x )? Não há f (x) aqui, então por onde começamos? Bem, vamos primeiro subtrair x ^ 2 de ambos os lados, então obtemos 0 = cos ( x ) – x ^ 2. Se, em vez de dizer 0, eu chamei isso de f (x) , estou apenas tentando encontrar as raízes da equação cos ( x ) – x ^ 2. E isso eu sei fazer, então vamos fazer uma mesa. Quando x = 0, f (x) = cos (0) – 0 ^ 2, ou 1. Quando x = pi , f (x) = cos ( pi ), que é -1, – pi^ 2. Vou deixar isso como -1 – pi ^ 2. Vamos plotar esses dois pontos. Primeiro, tenho f (x) = 1 quando x = 0, então tenho em x = pi , f (x) = -1 – pi ^ 2. Novamente, esta é uma função contínua, então em algum lugar entre 0 e pi , ela deve ter pelo menos uma solução. A resposta para x ^ 2 = cos ( x ) vai ser algum valor de x entre 0 e pi .
Resumo da lição
Vamos revisar. O valor intermediário teorema diz que, se você está indo entre um e b ao longo de alguma função contínua f (x) , em seguida, para cada valor de f (x) entre f (a) e f (b) , há alguma solução. Se eu vou entre um e b , eu vou bater todos os valores entre f (a) e f (b) .