Caminhos contínuos vs. caminhos descontínuos
Outro dia, eu estava sentado no aeroporto de Seattle e havia nuvens até onde a vista alcançava, em absolutamente todas as direções. Agora, todas essas nuvens estavam provavelmente a cerca de 8.000 pés de altura. Isso me fez pensar: se estou em um avião, começo no nível do mar e vôo direto até 30.000 pés, tenho que passar por essa parede de nuvens?
Hmm. Vamos fazer um gráfico para descobrir. Tudo bem, então vou representar graficamente minha altitude em função do tempo e vou dizer que começo no nível do mar e vou subir até 30.000 pés. Vou começar no minuto 0, mas estarei a 30.000 pés no momento em que estiver 20 minutos neste vôo. Portanto, se eu começar no nível do mar e traçar um caminho até a altitude de cruzeiro, não importa o caminho que eu desenhe, tenho que passar por esse nível de nuvem. Eu realmente não gosto de nuvens, então como posso evitar isso?
Bem, digamos, em vez disso, que estou em um OVNI. Novamente, vou começar a 0 pés, 0 minutos, e vou começar a ganhar altitude, subindo direto. Assim que chegar perto das nuvens, vou pular para o outro lado das nuvens! E então eu continuarei, e encontrarei o avião a 30.000 pés, 20 minutos dentro. Lá, eu não tive que passar pelo teto de nuvem de 8.000 pés. Então, qual é a diferença entre o jato e o OVNI?
Teorema do valor intermediário
Bem, tanto o jato quanto o OVNI começaram no nível do mar no tempo zero, e ambos terminaram a 30.000 pés em 20 minutos. Mas o jato seguiu um caminho contínuo – não teve nenhum desses saltos. O OVNI, por outro lado, teve uma descontinuidade – não seguiu um caminho contínuo. Podemos escrever isso matematicamente como o teorema do valor intermediário . Esse teorema diz que, dada alguma função f (x) que é contínua em um intervalo que vai de a até b , a função deve assumir todos os valores entre f (a) e f (b) nesse intervalo.
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Portanto, considere sua função, a altitude f (x) , como uma função do tempo. Aqui, vamos chamar isso de x . Bem, se tivermos um intervalo de x = 0 minutos a x = 20 minutos, e sabemos que f (0), sua altitude inicial, é 0 pés e f (20), sua altitude após 20 minutos, é 30.000 pés , algo entre 0 e 20 minutos, você percorrerá todas as altitudes entre 0 e 30.000 pés. Então, em algum ponto entre a e b , entre 0 e 20 minutos, você atingirá 1.500 metros. Você vai atravessar as nuvens a 8.000 pés, vai passar 20.000 pés, e assim por diante.
Encontrando um valor em uma função contínua
Como outro exemplo, digamos que você tenha algum f (x) que é contínuo para todos os valores de x . E você sabe que f (1) = 9 e f (3) = 52. Como f (x) é contínuo, em algum lugar entre 1 e 3, f (x) será igual a todos os números entre 9 e 52. Então, se eu perguntar a você, f (x) = 47, você pode dizer f (x) será igual a 47 para algum valor de x entre 1 e 3, simplesmente porque f (x) é contínuo e por causa do teorema do valor intermediário.
Resumo da lição
Vamos revisar. O teorema do valor intermediário diz que se você tem uma função que é contínua em algum intervalo de a a b , e está tentando encontrar o valor de f (x) entre f (a) e f (b) , então há pelo menos um solução, x , entre a e b . No caso de nossos jatos, temos nossa função – nossa altitude em função do tempo – que é contínua entre 0 e 20 minutos. Sabemos que se f (a) , nossa altitude no tempo zero, é o nível do mar, ef (b), nossa altitude no tempo 20 é 30.000 pés, então haverá algum ponto no tempo em que passaremos entre cada altitude entre 0 e 30.000 pés. Em algum momento, passaremos por 6.000 pés. Em algum momento, passaremos por 12.000 pés e assim por diante.