Teorema Bissetor Perpendicular
Vamos falar de bissetores perpendiculares. Essas linhas são extremamente úteis. Digamos que você seja um arquiteto. Eu já quis ser arquiteto. Então eu percebi que era menos construir modelos legais e mais regulamentos e códigos de construção. De qualquer forma, vamos ignorar completamente os códigos de construção aqui.
Aqui está um pouco de terra. Você está projetando um arranha-céu. O pessoal que contratou você fez duas exigências: precisa subir e fica no meio do terreno. Parece bastante simples, certo?
Diga, você sabe o que você fez? Você fez uma bissetriz perpendicular. E não é tão simples quanto parece. Considere a Torre Inclinada de Pisa. Talvez divida os lotes de terra. Mas definitivamente não é perpendicular. Com certeza, quem visitaria a torre perpendicular de Pisa? Essas pessoas definitivamente ignoraram alguns códigos de construção.
De qualquer forma, bissetores perpendiculares vêm com seu próprio teorema. O teorema da bissetriz perpendicular afirma que se um ponto está na bissetriz perpendicular de um segmento, então ele é equidistante dos pontos finais do segmento. Em outras palavras, se pendurássemos varais em qualquer andar de nossa torre, cada andar usaria o mesmo comprimento de varal para chegar ao solo. Ok, mas acho que os vizinhos podem reclamar de toda a roupa íntima pendurada fora de nossa torre.
Prova
Mas esse é o teorema. Podemos provar isso? Aqui está uma linha, AB , e sua bissetriz perpendicular. Vamos marcar um ponto sobre a bissectriz C e o ponto que atinge AB como M .
 |
Estamos tentando provar que as linhas que podemos traçar de C para A e de C para B são congruentes. Adicionar essas linhas nos dá mais do que apenas um lugar para pendurar nossas roupas, nos dá dois triângulos. Isso será importante mais tarde.
Vamos começar afirmando que CM é uma bissetriz perpendicular de AB . Isso nos foi dado. E, bem, isso é tudo que nos é dado. Mas acredite em mim, isso é tudo de que precisamos.
Ok, agora vamos afirmar que M é o ponto médio de AB . Isso faz parte da definição de bissetriz perpendicular; seria a bissetriz dessa definição. CM divide AB ao meio , de modo que o local onde atinge AB é o meio exato. Isso significa que AM é congruente com MB .
Por quê? Bem, isso é o que é um ponto médio – o ponto que divide uma linha em dois segmentos congruentes. Também nos permite ter belos jardins simétricos em ambos os lados da nossa torre, ou estacionamento. Nada supera um amplo estacionamento.
A seguir, vamos afirmar que os ângulos CMA e CMB são ângulos retos. Nenhuma torre inclinada aqui. Esta é a outra parte da definição de uma bissetriz perpendicular; é a parte perpendicular, claro.
 |
Como esses são ângulos retos, podemos afirmar que os ângulos CMA e CMB são congruentes. Todos os ângulos retos são o quê? 90 graus. E qual é a relação de um ângulo de 90 graus com outro ângulo de 90 graus? Eles são gêmeos!
Portanto, temos lados congruentes e ângulos congruentes. Tudo isso veio de uma determinada declaração. Não é ruim. E ainda não terminamos.
Vamos afirmar que CM é congruente com CM . Arquive isso em ‘afirmações óbvias’. Nossa torre é igual a si mesma. Oficialmente, é a propriedade reflexiva.
Ok, veja o que temos agora: lado-ângulo-lado. Não é apenas um palíndromo geométrico, é um postulado: SAS. Isso significa que o triângulo CMA é congruente com o triângulo CMB .
E se o triângulo CMA é congruente com o triângulo CMB , e as partes correspondentes dos triângulos congruentes são congruentes, o que eles são e chamamos de CPCTC, então CA é congruente com CB . Duas linhas de roupa iguais! Essa é a nossa prova!
Conversar
Portanto, o teorema da bissetriz perpendicular é verdadeiro. E quanto ao seu inverso? O inverso de uma afirmação é quando você muda a hipótese e a conclusão. Em vez de ‘se p , então q ‘, o inverso é ‘se q , então p .’
Assim, o teorema da bissetriz perpendicular afirma ‘se um ponto está na bissetriz perpendicular de um segmento, então ele é equidistante dos pontos finais do segmento.’ Vamos trocar isso para ler ‘se um ponto é equidistante dos pontos finais de um segmento, então ele está na bissetriz perpendicular do segmento.’
Imagine os andares do nosso prédio flutuando no espaço, não conectados uns aos outros como uma torre. Estranho, ok. Mas vá em frente. Para testar nosso inverso, vamos começar com um segmento. Este é o segmento AB . Vamos adicionar um ponto e chamá-lo X .
 |
Nossa declaração inversa nos diz que se a distância de X a A é igual à distância de X a B , então X está na bissetriz perpendicular de AB .
Sabemos que podemos traçar uma linha de X que é perpendicular a AB . Podemos fazer isso de qualquer ponto. Está aqui ponto Y .
 |
Poderíamos fazer a mesma coisa de Y . Mas Y não é equidistante de A e B , então não está na bissetriz perpendicular. Além disso, a linha que inclui Y parece que divide AB ao meio ? Não. Acho que Y vem de Pisa.
Mas e quanto ao X ? Vamos adicionar as linhas XA e XB . Vamos chamada ao ponto em que a nossa linha de X atinge AB Z . Se estivéssemos fazendo uma prova como antes, o que saberíamos?
 |
Sabemos que XA é congruente com XB, pois a hipótese de nossa declaração nos diz que é equidistante dos pontos finais do segmento.
Também sabemos que temos ângulos congruentes – aqueles ângulos retos, XZA e XZB . E sabemos que o XZ é congruente consigo mesmo. Portanto, poderíamos usar o teorema da perna da hipotenusa (HL) para afirmar que esses dois triângulos são congruentes. O teorema HL afirma que se a hipotenusa e a perna de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e a perna de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.
Isso nos permitiria afirmar que AZ é congruente com ZB . Isso significa que XZ divide AB ao meio , então X está na bissetriz perpendicular de AB .
Resumo da lição
Para resumir, a Torre Inclinada de Pisa é realmente muito legal. Eu fui lá uma vez. Foi incrível. Ah, e o teorema da bissetriz perpendicular – o teorema afirma que se um ponto está na bissetriz perpendicular de um segmento, ele é equidistante dos pontos finais do segmento. Provamos que isso é verdade. Também mostramos como o inverso do teorema é verdadeiro. O inverso afirma que se um ponto é equidistante das extremidades de um segmento, então ele está na bissetriz perpendicular do segmento. Agora acho que preciso lavar alguma roupa.
Resultado de aprendizagem
No final desta lição, você deve ser capaz de lembrar o teorema da bissetriz perpendicular e testar as declarações inversas.