Conjugados complexos
Vamos falar sobre o teorema da raiz conjugada em matemática! Este é um teorema muito interessante e importante em matemática que ajuda a encontrar as raízes complexas de um polinômio. Antes de chegarmos ao teorema real, precisamos nos familiarizar com os números que estão envolvidos neste teorema.
Para fazer isso, vamos começar examinando a primeira palavra do teorema: conjugado. Como adjetivo, » conjugado » deve ser agrupado, normalmente em pares. Portanto, não deve ser surpresa que, quando falamos de conjugados complexos em matemática, estejamos falando de um par de números! Os conjugados complexos são uma parte importante do teorema da raiz do conjugado, portanto, definitivamente queremos estar familiarizados com eles.
Conjugados complexos são dois números complexos , então eles têm a forma a + b i , onde a e b são números reais e i = √ -1. Chamamos a a parte real de um número complexo eb i a parte imaginária.
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Dois números complexos são conjugados um do outro se tiverem a mesma parte real e suas partes imaginárias forem negativas. Ou seja, o conjugado complexo de a + b i é a – b i .
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Por exemplo, o conjugado complexo de 5 + 3 i é 5 – 3 i , e o conjugado complexo de 1 – 4 i é 1 + 4 i . Encontrar o conjugado complexo de um número complexo é simples; você apenas muda o sinal da parte imaginária do número.
Ok, agora que estamos familiarizados com os tipos de números que o teorema envolve, vamos mergulhar no teorema em si!
Teorema da raiz do conjugado
O teorema da raiz conjugada afirma que se o número complexo a + b i é uma raiz de um polinômio P ( x ) em uma variável com coeficientes reais, então o conjugado complexo a – b i é também uma raiz daquele polinômio.
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Fantasia, mas você pode estar se perguntando como isso é útil. Bem, suponha que você esteja tentando encontrar as raízes de um polinômio e, conforme está resolvendo, descubra que o número complexo a + b i é a raiz do polinômio. Bem, assim que você descobrir isso, automaticamente conhecerá outra raiz! Pelo teorema da raiz conjugada, você sabe que, uma vez que a + b i é uma raiz, deve ser o caso que a – b i também é uma raiz.
Por exemplo, se 1 – 2 i é uma raiz, então seu conjugado complexo 1 + 2 i também é uma raiz. Esse teorema apenas economizou o tempo e o trabalho de ter que encontrar essa raiz de maneiras mais complicadas. Como você pode ver, este teorema é muito útil quando se trata de resolver polinômios.
Exemplos
Outro exemplo em que esse teorema é útil é na análise de um polinômio. Por exemplo, suponha que você esteja trabalhando em um projeto e encontre um polinômio com o expoente dois mais alto. Isso informa que o polinômio tem duas raízes. Você descobre que uma raiz é um número real sem parte imaginária. É possível que a outra raiz tenha a forma a + bi , onde b não é zero?
Hmmm, vamos pensar sobre isso. O polinômio tem apenas duas raízes, e uma delas foi considerada real sem nenhuma parte imaginária, portanto, o polinômio tem apenas uma outra raiz. Se aquela outra raiz fosse um número complexo a + bi , onde b não é zero, então pelo teorema da raiz conjugada, seu conjugado complexo também deve ser uma raiz, mas espere! Isso resultaria em três raízes para o polinômio, e sabemos que o polinômio tem apenas duas raízes. Portanto, podemos concluir logicamente que a raiz restante do polinômio deve ser real. Muito legal, hein? Conseguimos determinar o tipo de raiz do polinômio sem realmente encontrá-lo!
Vamos considerar outro exemplo de análise de polinômios. Suponha que você esteja trabalhando com um polinômio e descubra que ele tem as raízes 7 + ie 9 – 2 i . Com base nisso, qual seria o número mínimo de raízes que o polinômio poderia ter? Você pode ficar tentado a dizer que o número mínimo de raízes é dois, uma vez que temos duas raízes.
No entanto, observe que as duas raízes fornecidas são números complexos. Portanto, pelo teorema da raiz conjugada, uma vez que 7 + i é uma raiz, deve ser o caso que 7 – i também é uma raiz, e uma vez que 9 – 2 i é uma raiz, deve ser o caso que 9 + 2 i também é uma raiz. Isso é responsável por quatro raízes, portanto, o número mínimo de raízes que esse polinômio pode ter é quatro. Mais uma vez, vemos que esse teorema é extremamente útil não apenas para encontrar raízes complexas de polinômios, mas também para analisar um polinômio.
Resumo da lição
O teorema da raiz conjugada afirma que se um polinômio P ( x ) em uma variável com coeficientes reais tem a raiz a + b i , então a – b i é também a raiz do polinômio. Basicamente, este teorema nos diz que se um polinômio tem um número complexo como sua raiz, então o conjugado complexo desse número também é uma raiz, onde o conjugado complexo do número complexo a + b i é a – b i .
Este teorema é extremamente útil para encontrar raízes complexas de polinômios, mas não para por aí. Este teorema também nos permite analisar melhor os polinômios e determinar como eles se comportarão com base em suas raízes. É um teorema aparentemente simples, mas, como vimos, é muito importante e útil no estudo da matemática, portanto, guarde-o em sua caixa de ferramentas de matemática!