Encontrar correspondências
Por que o teorema AAS é importante? Bem, você já jogou o jogo em que vira duas cartas tentando encontrar pares iguais? Talvez você esteja procurando duas fotos de bananas, ou leões, ou leões comendo bananas. Aposto que esse par é evasivo.
Esse jogo é como o que estamos tentando fazer aqui com triângulos. Queremos encontrar triângulos que correspondam ou sejam congruentes. Isso significa que eles têm três lados congruentes e três ângulos congruentes.
Existem várias maneiras de determinar se dois triângulos são congruentes. Se todos os três lados corresponderem, chamaremos esse lado lateral ou SSS. Se tivermos um lado, um ângulo incluído e outro lado, então é o lado do ângulo lateral ou SAS. O ângulo incluído é o ângulo entre os lados. Você também pode ter um ângulo, lado incluído e outro ângulo. Chamamos isso de ângulo lateral ou ASA.
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Mas e esse par? Podemos usar side-side-side? Não, só sabemos que AB é congruente com XY. Que tal lado-ângulo-lado? Novamente, temos apenas um lado. Ainda há ângulo lateral-ângulo. Que tal? Ainda não. Com ASA, precisamos do lado incluído, ou o lado entre os ângulos congruentes.
É aqui que entra o ângulo-ângulo-lado.
O Teorema AAS
O teorema ângulo-ângulo-lado , ou AAS , nos diz que se dois ângulos e qualquer lado de um triângulo são congruentes com dois ângulos e qualquer lado de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
Então, SSS, SAS, ASA e agora AAS? Parece que estamos ficando bastante liberais com o que torna os triângulos congruentes, não é? É como jogar o jogo de cartas e dizer que esta vaca e este cheeseburger combinam porque os cheeseburgers são feitos de vacas. O que a vaca pensaria disso?
Mas o AAS faz mais sentido do que parece. Em nossos dois triângulos aqui, os ângulos B e Y são congruentes. E os ângulos C e Z são congruentes. Digamos que o ângulo B seja de 30 graus. E digamos que o ângulo C é de 80 graus. O que é o ângulo A? A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, então 180 menos 30 menos 80 é 70. A é 70.
Bem, se B é 30, então Y também é. E se C é 80, então Z também é. Isso significa que A e X são 70. A e X também devem ser congruentes. Isso significa que conhecemos um par de ângulos, B e Y, um lado incluído, AB e XY, e então os ângulos do outro lado, A e X. Isso é ângulo-lado-ângulo.
Como os triângulos têm três ângulos e seus ângulos sempre somam 180, se conhecermos o ângulo-ângulo-lado, também saberemos o ângulo-lado-ângulo. É por isso que precisamos conhecer apenas dois ângulos e qualquer lado para estabelecer a congruência.
Portanto, o AAS não é como dizer que uma vaca e um cheeseburger combinam. Na verdade, é apenas outra maneira de dizer que duas vacas idênticas combinam.
Prova de prática
Vamos fazer uma pausa no jogo de correspondência e ver o AAS em ação em uma prova.
Aqui está uma gravata borboleta. Também são dois triângulos. Sabemos que NQ é congruente com OQ. Também sabemos que o ângulo M é congruente com o ângulo P. Podemos provar que MN é congruente com OP?
Para provar isso, queremos provar que os triângulos são congruentes. Vamos começar nossa prova afirmando que NQ é congruente com OQ. Isso é dado. E o ângulo M é congruente com o ângulo P. Novamente, isso é dado. Temos o suficiente para estabelecer que os triângulos já são congruentes? Temos um lado e um ângulo. Infelizmente, ainda não chegamos lá.
Mas podemos dizer que o ângulo MQN é congruente com o ângulo OQP. Por quê? Eles são ângulos verticais. Os ângulos verticais são sempre congruentes.
Agora temos dois ângulos e um lado! Portanto, podemos dizer que o triângulo MNQ é congruente com o triângulo POQ por causa do teorema AAS. E, portanto, MN é congruente com OP porque as partes correspondentes de triângulos congruentes são congruentes, ou CPCTC.
Encontrando Congruência
Ok, vamos perder a gravata borboleta e voltar ao nosso jogo. Vamos tentar encontrar algumas correspondências e identificar como são congruentes.
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Aqui estão dois triângulos: DEF e JKL. Eles são iguais? Vamos ver. EF é congruente com KL. Isso é um par de lados. E temos E congruente com K e F congruente com L, então dois ângulos e um lado. Devemos usar ângulo-ângulo-lado? Bem, desta vez temos o lado incluído, então é o ângulo-lado-ângulo mais preciso.
Que tal esses dois? Oh, não temos ângulos congruentes, temos? Temos algum ângulo vertical? Não. Hmm. Bem, temos MN e LO e LM e NO. Então são dois pares de lados. Ah, e LN é congruente com LN por causa da propriedade reflexiva, que é apenas uma linguagem matemática sofisticada para ‘é a mesma linha’. Portanto, temos três lados congruentes. Isso é lado-lado-lado!
Aqui está outro par. Desta vez, podemos ver que DF e RS são congruentes. Assim como DE e ST. E os ângulos D e S? Esses são os ângulos incluídos entre nossos lados congruentes. Portanto, este é o lado do ângulo lateral, ou SAS.
Que tal mais um? Essas pirâmides de cabeça para baixo têm um par de lados congruentes: AB e DE. Então temos os ângulos A e D, bem como os ângulos C e F. São dois ângulos e um lado não incluído. Portanto, este é o nosso teorema do dia, ângulo-ângulo-lado ou AAS. Nós somos fantásticos neste jogo!
Resumo da lição
Em resumo, aumentamos nossas habilidades de correspondência quando tentamos encontrar triângulos congruentes. Já sabíamos lado-lado-lado, lado-ângulo-lado e ângulo-lado-ângulo.
Aqui, aprendemos sobre o teorema ângulo-ângulo-lado, ou AAS. Este teorema afirma que se dois ângulos e qualquer lado de um triângulo são congruentes com dois ângulos e qualquer lado de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.
Este teorema é uma adaptação do ângulo-lado-ângulo, ou ASA. Quando temos um lado não incluído, sabemos que pode ser um lado incluído devido à soma dos ângulos internos de um triângulo sempre ser 180.
Resultado de aprendizagem
Depois de assistir a esta lição, você deve ser capaz de lembrar o que o teorema do ângulo-ângulo-lado (AAS) declara, saber quando usá-lo e explicar como ele ajuda a determinar se os triângulos são congruentes entre si.