Técnica de Diferenciação Implícita
Digamos que nosso amigo Gary está nos avisando que vai se atrasar para nossa reunião de jantar às 16h15, mas tudo o que ele diz é que ainda há muito dever de casa a fazer. Quando solicitado a ser mais claro, Gary compartilha explicitamente sua programação: às 16h ele estuda matemática, às 4h10 ele faz uma pausa e às 4h20 começa o dever de casa. Ao declarar explicitamente sua programação, sabemos com certeza que Gary não tem planos de estar no restaurante às 4:15.
Em problemas de diferenciação matemática, muitas vezes ouvimos as mesmas palavras: explícito e implícito. Nesta lição, explicamos a técnica de diferenciação implícita comparando-a com a diferenciação explícita. Em seguida, completamos vários exemplos usando diferenciação implícita. Isso pode ajudar Gary a chegar ao restaurante.
Explícito vs. Implícito
Dada a equação y 2 = x – 1, vamos encontrar a reta tangente. Sabemos que tirar a derivada de y em relação ax nos dá a inclinação da reta tangente. Se primeiro tirarmos a raiz quadrada de ambos os lados desta equação, temos:
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Esta é a forma explícita da equação porque y está isolado no lado esquerdo e x aparece apenas no lado direito.
Diferenciando e resolvendo para y ‘, obtemos a equação abaixo:
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A primeira linha diz que y ‘é igual a d y / d x é igual a D y . A notação primária, a notação d sobre d x e a notação D maiúscula são três maneiras de dizer a mesma coisa: tire a derivada em relação a x . Será conveniente misturar essas notações.
A segunda linha é a derivada de uma raiz quadrada, e a terceira linha é a resposta final onde tomamos o cuidado de evitar valores para x indefinido para y ‘( x = 0 leva à divisão por zero).
A diferenciação de uma equação de forma explícita é chamada de diferenciação explícita .
Vamos obter a resposta y sem primeiro resolver para y . Usando a notação D maiúscula para derivada, tire a derivada de ambos os lados da equação:
D ( y 2 ) = D ( x -1) que dá:
2 y y ‘= D (x) – D (1) = 1 – 0, tendo usado a regra da cadeia para D ( y 2 ). A derivada de uma diferença é a diferença das derivadas. Assim, D ( x – 1) é igual a D ( x ) – D (1). A derivada de x é 1, e a derivada de uma constante (o 1) é zero.
2 y y ‘= 1 ou y ‘ = 1 / (2 y ). Ver quão bem o y ‘parece deixar-nos facilmente resolver para y ‘?
A regra da cadeia é bem expressa usando a notação dd x :
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Veja como o y ‘substituiu o d y d x ? Equivalente e mais compacto!
Substituindo por y = raiz quadrada ( x – 1), obtemos:
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Os resultados são os mesmos, mas a segunda abordagem é muito poderosa quando é impossível ou inconveniente resolver explicitamente para y . Essa segunda abordagem é chamada de diferenciação implícita , que é essencialmente realizada usando a regra da cadeia.
E uma regra de estudo eficaz é fazer pausas, incluindo comer. Gary continuará estudando e perderá o jantar?
Exemplo de diferenciação implícita
Vamos complicar a equação anterior, misturando em mais x e y termos:
( x – y ) 2 = x + 8 y – 1. Um gráfico desta curva se parece com a imagem abaixo com esta equação:
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Encontre a linha tangente no ponto x = 5, y = 1,25:
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A diferenciação fornece a inclinação da reta tangente, mas em vez de tentar resolver para y fazer uma diferenciação explícita, faremos a diferença implicitamente. Primeiro, tome a derivada de ambos os lados da equação:
D ( x – y ) 2 = D ( x + 8 y – 1)
Use a regra da cadeia no lado esquerdo e, no lado direito, use a derivada de uma soma é a regra da soma das derivadas:
2 ( x – y ) D ( x – y ) = D ( x ) + D (8 y ) – D (1)
Continue avaliando, e quando tivermos um D ( y ), escreva em notação primária como y ‘:
2 ( x – y ) (1 – y ‘) = 1 + 8 y ‘ – 0
Agrupando os termos y no lado direito:
2 ( x – y ) – 1 = y ‘(8 + 2 ( x – y ))
Resolvendo para você :
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Para completar este exemplo, a equação da tangente é y = m x + b onde a inclinação m é y ‘. Substituindo x = 5 ey = 1,25 no resultado y ‘, obtém-se 0,42. Resolvendo para b, temos b = y – m x = 1,25 – 0,42 (5) = -0,85. Assim, a equação para a tangente à curva em (5, 1,25) é y = 0,42 x – 0,85. Traçando esta linha, temos o gráfico abaixo:
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Uma boa linha reta e às vezes uma linha reta da sala de estudos até o restaurante é o melhor caminho de Gary para conseguir um pouco de comida.
Mais alguns exemplos
Vamos fazer exemplos com exponenciais e depois com funções trigonométricas.
Exemplo 1: Encontre y ‘para e ^ ( x + y ) = e ^ (e x ) + e ^ (2 y ).
Faça a derivada de ambos os lados da equação:
D e ^ ( x + y ) = D e ^ (e x ) + D e ^ (2 y )
Diferencie usando a regra da cadeia:
e ^ ( x + y ) D ( x + y ) = e ^ (3 x ) D (3 x ) + e ^ (2 y ) D (2 y )
Avalie os derivados:
e ^ ( x + y ) (1 + y ‘) = e ^ (3 x ) 3 + e ^ (2 y ) 2 y ‘
Recolher e fatorar os termos y :
y ‘(e ^ ( x + y ) – 2e ^ (2 y )) = 3e ^ (3 x ) – e ^ ( x + y )
Resolva para você :
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Exemplo 2: Encontre y ‘para cos x + sin y = sin (2 x – 3 y )
Diferencie os dois lados da equação:
D cos x + D sin y = D sin (2 x – 3 y )
Avalie os derivados:
-sin x + cos ( y ) y ‘= cos (2 x – 3 y ) D (2 x – 3 y ) = cos (2 x – 3 y ) (2 – 3 y )
Recolher e fatorar os termos y :
y ‘(cos y + 3cos (2 x – 3 y )) = 2cos (2 x – 3 y ) + sin x
Resolva para você :
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Ter todos esses exemplos matemáticos de diferenciação implícita permite que Gary se sinta confiante para fazer uma pausa prolongada e jantar.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos nesta lição sobre a técnica de diferenciação implícita. A forma explícita de uma equação tem a variável y isolada no lado esquerdo e x aparece apenas no lado direito. A diferenciação de uma equação dessa forma é chamada de diferenciação explícita . Para aqueles casos em que y não está isolado, podemos usar a diferenciação implícita , que é essencialmente diferenciação usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é bem expressa usando a notação dd x :
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Agora você deve ser capaz de usar a técnica de diferenciação implícita com facilidade!