Problema de dois trens
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Lembre-se daquele problema do qual todo mundo sempre zomba: se um trem sai de Kentucky às 14h e outro sai de Sacramento às 16h, e o alinhamento das luas é tal que tudo está indo a 5 mph, quando eles vão cruzar? Faremos um problema semelhante, mas um pouco mais razoável. Imagine que você tem dois trens indo em direção um ao outro. O trem 1 está indo para o leste a 30 mph, e o trem 2 está indo para o oeste a 45 mph. Eles vão começar a 160 quilômetros de distância. Quão distantes eles estarão em uma hora? Quando eles vão passar um pelo outro?
Como queremos saber a que distância eles estarão e quando eles passarem um pelo outro (quando a distância entre eles for zero), queremos escrever que a distância entre eles é igual à posição do Trem 2 menos a posição do Trem 1, l = x sub 2 – x sub 1. Agora temos a distância entre eles, que chamarei de l . Aqui, vamos usar uma taxa relacionada . Vamos relacionar a distância entre eles a cada uma de suas velocidades. Vou tirar a derivada do lado esquerdo e direito desta equação, e vou obter dl / dt (como a distância muda em função do tempo) = dx (sub 2 / dt ) – dx(sub 1 / dt ), a velocidade do Trem 2 menos a velocidade do Trem 1. Se eu conectar a velocidade do Trem 2 e a velocidade do Trem 1, descubro que a distância está mudando a uma taxa de -75 mph.
Se eu usar uma separação de variáveis para resolver esta equação diferencial – se eu obtiver todas as variáveis t no lado direito e todas as variáveis l no lado esquerdo – obtenho dl = -75 dt . Se eu integrar ambos os lados, acho que l = -75 t + C . Porque eles começam quando o tempo é igual a zero, a uma distância de 100 milhas de distância, eu posso resolver este l equação para C . Portanto, 100 = (- 75) (0) + C , isso significa C = 100 milhas. O que acabo com é uma equação de quão distantes eles estão em função do tempo: l = -75 t + 100. Após uma hora,t = 1, acho que l tem 25 e eles estão a 25 milhas de distância. Eles se cruzam quando l = 0, quando t = 1,3 horas.
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Outro problema de dois trens
Se o Trem 1 virar e começar a se dirigir para o oeste a 30 mph em vez de ir em direção ao Trem 2, e eles ainda começarem a 160 quilômetros um do outro, a que distância estarão em uma hora? O Trem 2 algum dia passará pelo Trem 1?
Novamente, vou escrever a distância entre os dois trens como l = x sub 2 – x sub 1. Vou tirar a derivada de ambos os lados esquerdo e direito. Desta vez, depois de encontrar dl / dt = ‘dx (sub 2 / dt ) – dx (sub 1 / dt ) e conectar a velocidade 1 e a velocidade 2, a velocidade 1 será negativa porque o Trem 1 está se movendo para à esquerda (a mesma direção que o trem 2 está se movendo). Portanto, dl / dt = (-45) – (-30) ou dl / dt= -45 + 30. Isso significa que a distância entre eles está mudando a uma taxa de -15 mph. Novamente, usando o fato de que no tempo 0 eles estão a 160 quilômetros um do outro, posso resolver esta equação e descobrir que l = -15 t + 100. Isso significa que, após uma hora, os dois trens estarão separados por 135 quilômetros. Após 6,7 horas, o Trem 2 ultrapassará o Trem 1; Posso resolver esta equação para t quando l = 0. Mas e se a distância não for em linha reta?
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Problema de escada de incêndio
Digamos que você esteja ajudando os bombeiros. Você está no local de um incêndio e está subindo uma escada de 10 metros; você está no topo. A escada está presa ao caminhão de bombeiros, e o caminhão de bombeiros fica a 3 m do prédio. Então é bem perto do prédio. Se o caminhão de bombeiros começar a se mover a 2 m / s, com que rapidez você vai escorregar pela parede?
Você percebe que este é um triângulo retângulo e a hipotenusa tem 10 m. Você sempre pode escrever x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ^ 2. Agora você quer uma taxa relacionada entre dx / dt (quão rápido o caminhão de bombeiros está se afastando) e dy / dt (quão rápido você está deslizando pela parede abaixo). Vamos tirar a derivada de ambos os lados deste teorema de Pitágoras . Eu obtenho: 2 x ( dx / dt ) + 2 y ( dy / dt ) = 0. Posso dividir ambos os lados por 2 e subtrair y ( dy / dt ), e acho que x ( dx / dt ) = – y ( dy / dt) É assim que minha altura ( dy / dt ) está mudando em relação a quão rápido o caminhão de bombeiros está se movendo ( dx / dt ). Vamos ver o quão rápido estou deslizando pela parede. O caminhão de bombeiros está se afastando da parede a 2 m / s. Isso significa que dx / dt é 2 m / seg e x é 3 m, porque é a distância que o caminhão de bombeiros está longe da parede. Minha equação se reduz a 6 = – y ( dy / dt ).
Ainda tenho uma equação e duas incógnitas. O que é y e o que é dy / dt ? Eu realmente quero saber o que é dy / dt , mas para resolver essa equação, primeiro preciso descobrir o que é y . Vou usar novamente o teorema de Pitágoras. Lembre-se, x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ^ 2 neste caso. Se x = 3, então essa equação se torna 9 + y ^ 2 = 100. Posso resolver isso para y . Será igual à raiz quadrada de 91. Então, eu sou a raiz quadrada de 91 m no ar. Se eu conectar isso à minha equação de taxa relacionada, é 6 = – y ( dy / dt), descubro que estou deslizando pela parede a uma taxa de -6 / raiz quadrada de 91. Portanto, estou deslizando pela parede a uma taxa de 0,06 m / s.
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Resumo da lição
Vamos revisar as taxas relacionadas novamente. Em taxas relacionadas, você vai pegar um relacionamento que você conhece. Em um problema, é a minha altura em função da distância que o caminhão de bombeiros está da parede. Outra relação é a distância entre dois trens, dependendo da posição desses dois trens. Em seguida, você vai diferenciar essa relação para descobrir como essas variáveis estão mudando umas em relação às outras.
Quando diferencio a equação que relaciona minha altura com a distância do caminhão de bombeiros da parede, posso descobrir como minha altura vai mudar conforme o caminhão de bombeiros se afasta do prédio. Da mesma forma, quando diferencio a equação do trem com a distância entre os trens, posso descobrir como a distância muda em relação às velocidades do trem. Essas taxas são chamadas de taxas relacionadas.