Matemática

Taxa de variação aproximada de gráficos e tabelas

Taxa de mudança e gráficos

Você obteve alguns dados sobre uma bola em queda. Você deseja aproximar a taxa de variação da altura da bola em relação ao tempo em t = 2 segundos. Você pode aproximar essa taxa de mudança usando informações dos dados que coletou.

A taxa de variação de uma função é a inclinação do gráfico da equação em um determinado ponto do gráfico. A linha tangente ao gráfico tem a mesma inclinação do gráfico nesse ponto.


A linha tangente ao gráfico tem a mesma inclinação do gráfico nesse ponto.
Linha tangente

Pode ser difícil encontrar a inclinação da linha tangente, então às vezes você pode aproximar olhando para a inclinação que conecta dois pontos que estão ao redor do ponto em que você está interessado. Você também pode usar o ponto de interesse e outro ponto perto disso. Essa linha é chamada de linha secante . As inclinações das linhas secantes podem ser usadas para aproximar a inclinação da linha tangente.


A linha secante
Linha Secante

Às vezes, as informações sobre os dois pontos que você usará podem ser encontradas em uma tabela, e às vezes virão de um gráfico. Vamos dar uma olhada em ambos!

Como calcular a taxa de variação

Quando você conhece as coordenadas de dois pontos em um gráfico, pode calcular a inclinação do segmento de linha que os conecta. Lembre-se de que a fórmula de inclinação é dada por:

nulo

Veja como aproximamos a taxa de variação ao usar uma tabela. Vamos olhar uma tabela e aproximar a taxa de mudança entre x = 3 e x = 6.

tabela 1

Podemos então substituir os valores da tabela, usando os pontos (3, 5,5) e (6, 7), na fórmula de inclinação que, como você pode ver, é:

Exemplo 1

Podemos usar esta inclinação para aproximar a taxa de variação do gráfico em valores x entre x = 3 e x = 6. A taxa aproximada de variação da função é cerca de 0,5. Quanto mais próximos os dois valores de x estiverem um do outro, mais precisa será a sua aproximação.

Agora vamos aproximar a taxa de mudança usando um gráfico. Se as informações forem de um gráfico, você usará as coordenadas de dois pontos do gráfico para aproximar a taxa de mudança ou inclinação do gráfico entre os dois pontos. Você precisará estimar as coordenadas dos dois pontos como parte deste processo.

Vamos aproximar a inclinação do gráfico em x = 2 no gráfico a seguir, que aparece aqui:

Gráfico de Função

Você pode começar olhando entre x = 1 e x = 2. Parece que as coordenadas dos dois pontos são (1, 1) e (2, 1,4). Agora você pode comparar esse cálculo com a inclinação entre os pontos quando x = 2 e x = 4, que são os pontos (2, 1,4) e (4, 2).

Exemplo 3

Observe com essas fórmulas que as inclinações são um pouco diferentes. Você pode dizer que a inclinação aproximada do gráfico em x = 2 está entre 0,4 e 0,3. Acontece que a inclinação real do gráfico em x = 2 é 0,35, então a aproximação era bastante precisa.

Exemplo da vida real

Aqui está usando uma mesa. Vamos voltar ao nosso exemplo de abertura. Aqui está uma tabela que mostra a relação entre a altura de uma bola em queda e o tempo. Use-o para aproximar a taxa de variação da altura em relação ao tempo em t = 2 seg.

mesa 2

Primeiro, você pode usar dois pontos de dados em torno de t = 2. Que tal t = 1,5 et = 2,5. Em seguida, você substitui as informações da tabela por esses dois valores t na fórmula de inclinação que, como você pode ver, é:

Exemplo 4

Então, agora você sabe que em 2 segundos a bola está caindo a aproximadamente -64 pés / s. Observe que as unidades de medida da taxa de variação correspondem às unidades de medida do numerador e denominador da fórmula de inclinação. Você também deve ter reconhecido que a taxa de mudança neste exemplo é igual à velocidade, e é! Essa taxa de variação, que é uma velocidade, é negativa porque a bola está caindo.

E agora aqui está usando um gráfico. Aqui está um gráfico que mostra a relação entre a velocidade da bola (m / s) e o tempo (s). Você deseja usar o gráfico para aproximar a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, de t = 4 a t = 5.

Primeiro, aproxime as coordenadas dos dois pontos. Parece que eles estão próximos das coordenadas (4, 12) e (5, 30). Em seguida, substitua as coordenadas dos pontos na fórmula de inclinação que, como você pode ver, é:

Exemplo 5

Portanto, parece que a taxa aproximada de variação da velocidade em relação ao tempo nesta parte do gráfico é de 18 m / s². Esta taxa de mudança está relacionada à aceleração de t = 4 a t = 5.

Resumo da lição

Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos. A taxa de variação de uma função é a inclinação do gráfico da equação em um determinado ponto do gráfico. A linha tangente ao gráfico tem a mesma inclinação do gráfico nesse ponto. Você pode aproximar a inclinação da linha tangente observando dois pontos ao redor do ponto em que está interessado ou usando o ponto de interesse e outro ponto próximo a ele, chamado linha secante . As inclinações das linhas secantes podem ser usadas para aproximar a inclinação da linha tangente. As coordenadas desses dois pontos podem vir de uma tabela ou aproximando as coordenadas dos pontos de um gráfico.