Definição de Tangente Comum
Você já ouviu falar em tangente? A palavra pode trazer à mente uma conversa que toma um rumo inesperado, mas em matemática tem um significado muito diferente. Uma tangente a um círculo é definida como uma linha que passa exatamente por um ponto em um círculo e é perpendicular a uma linha que passa pelo centro do círculo. Uma linha tangente a mais de um círculo é chamada de tangente comum a ambos os círculos.
Uma tangente comum pode ser dividida em tangentes comuns internas e externas; a diferença é que as tangentes comuns internas passam pelo segmento de linha que une os centros dos dois círculos e as tangentes comuns externas não.
Existem seis casos diferentes que podemos examinar para falar sobre todas as possibilidades de tangentes comuns entre dois círculos. Vamos dar uma olhada neles, um de cada vez, começando com o menor número de tangentes comuns e trabalhando em direção ao maior número de tangentes comuns.
Em todos os casos abaixo, a será o raio de um círculo, b será o raio do outro círculo e d será a distância entre os centros dos círculos. O número de tangentes comuns é n .
Sem tangentes comuns ( n = 0)
Como é possível não ter tangentes comuns para dois círculos? Bem, se um círculo está completamente dentro do outro, todas as tangentes possíveis para o círculo menor passarão por dois pontos do círculo maior. Como uma tangente ao círculo maior só pode passar por um ponto do círculo maior, isso significa que não há nem mesmo uma única linha tangente a ambos os círculos.
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Olhando para o diagrama, podemos ver que b > um e d < b – a .
Construção: Como não há tangentes, não há tangentes para construir.
Uma tangente comum ( n = 1)
Se ajustarmos ligeiramente a geometria do cenário acima, de modo que o círculo menor seja capaz de apenas tocar o círculo maior em um ponto, podemos ver que haverá uma tangente comum, que passa pelo ponto único que é comum a ambos círculos.
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Neste caso, b > um e d = b – a . Além disso, essa tangente é uma tangente comum externa porque não cruza o segmento de linha entre o centro dos círculos.
Construção: A tangente toca o círculo exatamente no ponto em que os dois círculos se tocam e é perpendicular a cada raio.
Duas tangentes comuns ( n = 2)
Continuando nossa investigação, o que acontece quando deslizamos os centros dos círculos para mais longe? Não muito distantes ainda, mas o suficiente para que os círculos se cruzem em dois pontos.
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Para este cenário, a > b e a distância entre os centros dos círculos terão um limite superior e inferior: a – b < d < a + b . As duas tangentes são tangentes externas.
Construção: coloque uma régua , como uma régua ou transferidor, de modo que toque o centro de cada círculo. Mova para cima até que apenas um ponto da régua toque o círculo menor. Mantenha esse ponto relativamente imóvel enquanto ajusta a outra extremidade da régua até que toque apenas um ponto no círculo maior. Faça os pequenos ajustes finais necessários para tornar a linha tangente a ambos os círculos e, a seguir, desenhe a linha traçando a régua com seu implemento de desenho. Repita para a outra tangente movendo a régua para baixo.
Três Tangentes Comuns ( n = 3)
Separando ainda mais os centros dos círculos, podemos chegar ao ponto em que novamente temos apenas um ponto que está em ambos os círculos, mas desta vez os círculos estão quase separados.
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Você pode ver que a + b = d , e que existem exatamente 3 tangentes. Existem duas tangentes externas e uma tangente interna.
Construção: desenhe as tangentes externas conforme descrito na seção anterior. A tangente interna passará pelo ponto que inclui os dois círculos e também será perpendicular aos dois raios.
Quatro Tangentes Comuns, ( n = 4)
O penúltimo caso é onde os centros dos círculos estão distantes o suficiente para que os círculos fiquem completamente separados.
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Este é provavelmente o caso mais comum e é definido pelo relacionamento:
d > a + b . Existem 2 tangentes comuns internas e duas tangentes comuns externas.
Construção: desenhe as duas tangentes externas conforme descrito nas construções anteriores. Para a primeira tangente interna, coloque a régua de modo que toque a parte inferior do círculo esquerdo e mova o lado direito da régua de modo que fique acima do centro do círculo direito. Continue movendo o lado direito para cima até que haja apenas um ponto do círculo tocando a régua. Faça pequenos ajustes finais para que cada círculo toque a régua em apenas um ponto. Quando tiver posicionado corretamente, trace a régua com sua caneta, lápis ou marcador.
Tangentes Comuns Infinitas, ( n = infinito)
O último caso é especial, onde a distância entre os centros do círculo é zero e os raios dos dois círculos são iguais. Nesse caso, os dois círculos são na verdade o mesmo círculo e cada tangente do primeiro círculo também é uma tangente do segundo círculo.
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Para este último caso, a = b , d = 0. Há um número infinito de tangentes comuns e todas são externas.
Construção: Existem literalmente muitas tangentes comuns para desenhar! Para desenhar uma amostra tangente, simplesmente escolha qualquer ponto no (s) círculo (s) e desenhe uma linha através desse ponto que é perpendicular ao raio do círculo.
Resumo da lição
Uma tangente a um círculo passa por um ponto do círculo e é perpendicular à linha que conecta esse ponto ao centro do círculo. Uma tangente comum é uma linha tangente a dois círculos. Se a tangente cruzar o segmento de linha que une os centros dos dois círculos, é chamada de tangente comum interna ; caso contrário, é uma tangente comum externa . Os seis casos diferentes estão resumidos no quadro abaixo.
| n | restrições | tangentes comuns internas | tangentes comuns externas |
|---|---|---|---|
| 0 | b > um e d < b – um | 0 | 0 |
| 1 | b > um e d = b – a | 0 | 1 |
| 2 | a – b < d < a + b | 0 | 2 |
| 3 | a + b = d | 1 | 2 |
| 4 | d > a + b | 2 | 2 |
| infinito | a = b , d = 0 | 0 | infinito |