Biología

Subtração de vetores (geométrica): Fórmula e exemplos

Por que precisamos subtrair vetores

Subtrair dois números que são escalares (que não têm uma direção) é muito fácil: 10 maçãs - 6 maçãs = 4 maçãs. Realmente, isso é tudo que há para fazer. Mas, quando você adiciona direção quando começa a trabalhar com vetores , as coisas ficam muito mais complicadas. Sim, se você e seu amigo têm um cabo de guerra e ele puxa com 10 newtons e você puxa com 6 newtons, o resultado é uma força total de 4 newtons, assim como com as maçãs. Mas, e se você estiver puxando em ângulos diferentes?

Vamos imaginar que, em vez de um cabo de guerra, você está empurrando uma mesa em um ângulo de 40 graus, e seu amigo está puxando em um ângulo de 75 graus, cada um com forças diferentes. Para onde vai a mesa? De repente, a grande quantidade que você está puxando não é tudo o que importa. Agora a direção é importante, então temos que começar a adicionar e subtrair vetores.

Embora muitas vezes a adição de vetores seja mais útil, a subtração também pode ser importante. Você só precisa procurar uma equação física que tenha um sinal de menos entre duas grandezas vetoriais para saber quando terá que subtrair. Aqui está um exemplo: a aceleração é igual à velocidade final menos a velocidade inicial dividida pelo tempo. O tempo não é um vetor (é apenas um número), mas as velocidades final e inicial são ambos vetores. Portanto, se quisermos descobrir a aceleração de um objeto, isso envolverá a subtração de um vetor de outro.

A abordagem geométrica

Existem duas maneiras principais de subtrair vetores: matematicamente e geometricamente. Nesta lição, vamos passar pela abordagem geométrica: subtraindo vetores posicionando-os ponta a ponta.

Para evitar muita confusão matemática, a abordagem geométrica tem uma boa simplicidade - tudo o que você precisa fazer é desenhar um diagrama. Claro, você precisa desenhar um diagrama muito preciso: um desenho em escala. Um desenho em escala é um desenho em que os comprimentos e ângulos de cada linha se relacionam entre si de uma forma consistente que corresponda à realidade. Assim, por exemplo, com um vetor de força, você poderia dizer que cada centímetro é igual a uma força de 10 newtons. Portanto, um vetor de força de 50 newtons seria uma flecha com 5 centímetros de comprimento.

Para adicionar dois vetores desenhados em escala (conforme descrito em outra lição), você os posiciona ponta a ponta. Para subtrair dois vetores você faz algo semelhante, mas aquele que você está subtraindo vai na direção oposta. A orientação e o comprimento do vetor permanecem os mesmos, mas a direção se inverte.

Um vetor v pode ter a seguinte aparência:


primeiro vetor


Mas um vetor v negativo ficaria assim:


vetor negativo


Aqui, por exemplo, temos dois vetores de velocidade: a velocidade final de um carro e sua velocidade inicial.


vetores de velocidade final e inicial


Se os subtrairmos assim, para obter o vetor final, desenhamos um vetor que vai do início ao fim.


diagrama de subtração vetorial


Nosso resultado final, que chamaremos de delta v , é igual ao vetor vf menos o vetor vi .

Poderíamos então medir o comprimento de nossa flecha no desenho em escala e o ângulo no qual a flecha está apontando para descobrir alguns números para nosso valor de delta v . Por último, poderíamos dividir a magnitude do nosso vetor por t para obter a aceleração, pois a aceleração é vf menos vi dividido por t .

Exemplo

Vamos ver outro exemplo:

Imagine que você está tentando puxar um cabo de trás de uma mesa pesada. No processo de puxar o cabo para soltá-lo, você começa a puxar para um lado e, 3 segundos depois, para o outro. Você começa a puxar dessa maneira com uma força de 3 newtons:


primeira parte do diagrama vetorial


E acabam puxando assim com uma força de 5 newtons no momento em que os 3 segundos acabam:


segunda parte do diagrama vetorial


E, com base na situação, você deve calcular a taxa de variação da força (a variação na força por segundo) usando métodos geométricos.

Como uma equação, isso seria F -final menos F -inicial dividido pelos 3 segundos. Então, precisamos subtrair o vetor de força inicial do vetor de força final. Para fazer isso, construímos um desenho em escala da situação. Esta é a aparência do inicial F positivo :


positivo f inicial


Portanto, o F- inicial negativo seguiria o caminho oposto:


f inicial negativo


Então, movemos o vetor de força inicial para aqui:


mover no vetor f inicial


Desenhe um vetor do início ao fim e teremos um vetor que representa F -final menos F -inicial; esse vetor tem 9 unidades de comprimento. Por último, temos que dividir pelo tempo de 3 segundos; isso não muda o ângulo, apenas o comprimento do vetor. Isso nos dá 3 newtons por segundo, e essa é a nossa taxa de variação de força. Foram realizadas.


subtração vetorial final


Resumo da lição

Para perceber a utilidade de subtrair vetores , você só precisa procurar uma equação física que tenha um sinal de menos entre as quantidades do vetor. Um exemplo comum é que a aceleração é igual à velocidade final menos a velocidade inicial dividida pelo tempo. O tempo não é um vetor (é apenas um número), mas as velocidades final e inicial são ambos vetores.

Portanto, se quisermos descobrir a aceleração de um objeto, isso envolverá a subtração de um vetor de outro. Para adicionar dois vetores desenhados em escala (conforme descrito em outra lição), você os posiciona ponta a ponta. Para subtrair dois vetores, você faz algo semelhante, mas aquele que você está subtraindo vai na direção oposta. A orientação e o comprimento do vetor permanecem os mesmos, mas a direção se inverte.

Um vetor v pode ter a seguinte aparência:


primeiro vetor


Mas um vetor v negativo ficaria assim:


vetor negativo


Aqui, por exemplo, temos dois vetores de velocidade: a velocidade final de um carro e a velocidade inicial, e os subtraímos assim:


vetores de velocidade final e inicial


E então, para obter nossa resposta final (nosso vetor final), desenhamos um vetor que vai do início ao fim. Nosso resultado final, que chamaremos de delta v , é igual ao vetor vf menos o vetor vi .


diagrama de subtração vetorial


Poderíamos então medir o comprimento de nossa seta em nosso desenho em escala e o ângulo no qual a seta está apontando para descobrir alguns números para nosso valor de delta v . Por último, poderíamos dividir a magnitude do nosso vetor por t para obter a aceleração, pois a aceleração é vf menos vi dividido por t . E isso é tudo que você precisa fazer.

Resultado de aprendizagem

Você deve ser capaz de subtrair vetores usando uma abordagem geométrica e desenhos em escala depois de assistir a esta vídeo aula.

Artículos relacionados