Definição de um conjunto
Antes de definirmos o subconjunto, precisamos nos atualizar sobre o que é um conjunto. Um conjunto é uma coleção de elementos ou objetos. Esses elementos geralmente estão relacionados de alguma forma, mas isso não é necessário. No entanto, cada elemento precisa ser discernível dos outros elementos do conjunto. Em outras palavras, precisamos ser capazes de distinguir um elemento de outro. Provavelmente, é melhor mostrar alguns exemplos de conjuntos.
‘Todos os estados dos Estados Unidos’ é um exemplo de conjunto com 50 elementos. Mas também podemos fazer um conjunto de apenas dois estados.
- Por exemplo, poderíamos criar um conjunto que tenha apenas Nebraska e Ohio como seus elementos: A = {Nebraska, Ohio}.
- Todas as letras do alfabeto inglês são um exemplo de conjunto de 26 elementos. Mas, novamente, poderíamos criar um conjunto com apenas três letras: B = {d, g, z}.
- Poderíamos até fazer um conjunto que incluísse estados e letras. Vamos chamar esse conjunto de C: C = {d, g, z, Nebraska, Ohio}.
Os exemplos acima usaram notação de conjunto apropriada. Chaves ({}) são normalmente usadas ao escrever um conjunto. Freqüentemente, é comum usar letras maiúsculas para nomear um conjunto.
Mais uma coisa antes de prosseguirmos: os elementos de um conjunto podem ser escritos em qualquer ordem e podem ser listados mais de uma vez. Também poderíamos escrever o conjunto C como C = {g, d, Nebraska, z, d, Ohio, Ohio}. Não alteramos o conjunto C. Ele ainda tem os mesmos cinco elementos.
Definição de subconjuntos
Vamos usar os conjuntos A, B e C novamente conforme definido acima e listados novamente aqui:
- A = {Nebraska, Ohio}
- B = {d, g, z}
- C = {d, g, z, Nebraska, Ohio}
Podemos dizer que A é um subconjunto de C porque todos os elementos de A também são elementos de C. Um subconjunto é um conjunto formado por componentes de outro conjunto.
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O conjunto A é mais especificamente um subconjunto adequado do conjunto C porque A não é igual a C. Em outras palavras, existem alguns elementos em C que não estão em A. Um subconjunto adequado é um subconjunto que não é igual ao conjunto ao qual pertence . Alguns livros ou sites da Web usam essa notação para especificar um subconjunto adequado (observe que o sublinhado foi removido). Nesta lição, a primeira figura que mostramos será usada para todos os subconjuntos.
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Também podemos mostrar a relação entre A e C em um diagrama de Venn.
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Identificando Subconjuntos
Agora vamos falar sobre como identificar subconjuntos. Esta parte da lição fica um pouco complicada. Primeiro, precisamos aceitar que pode haver conjuntos dentro de conjuntos. Isso significa que os conjuntos podem ser elementos de outros conjuntos. Vejamos este exemplo:
D = {2, {2}, 3, 4, {7}, {11, 12}}
No conjunto D, existem seis elementos. Três dos elementos são conjuntos de um ou vários números: {2}, {7} e {11, 12}. Podemos distinguir esses elementos como conjuntos por causa dos colchetes. Os outros três elementos são números individuais: 2, 3 e 4.
Os elementos 2 e {2} não são iguais porque {2} é um conjunto e 2 não é um conjunto. Além disso, os números 11 e 12 não são elementos de D, mas o conjunto {11, 12} é um elemento de D. Essa distinção entre elementos e conjuntos é direta, mas geralmente é uma regra difícil de aplicar. Provavelmente seria benéfico revisar esta parte da lição mais de uma vez.
Agora, vamos identificar alguns subconjuntos de D. Precisamos lembrar a definição de um subconjunto: A é um subconjunto de B se todos os elementos de A são elementos de B. Se o conjunto F = {3, {7}}, então F é um subconjunto de D porque todos os elementos de F são elementos de D. Da mesma forma, se o conjunto G = {2, {2}, {11, 12}, 4}, então G é um subconjunto de D porque todos os elementos de G são elementos de D.
Agora, vamos identificar um não-exemplo. Se o conjunto H = {3, 7}, então H não é um subconjunto de D. O conjunto contendo o número 7 é um elemento de D, mas o número 7 não é um elemento de D. Observe a diferença de notação entre F e H.
Subconjuntos de sistemas numéricos
Outra maneira de ilustrar o conceito de subconjuntos é usando os conjuntos de sistemas numéricos. Usamos certas letras para definir vários sistemas numéricos. Isso ajuda a definir melhor os conjuntos e a torná-los mais fáceis de escrever. Então, por exemplo:
- N = números naturais = {1, 2, 3,…}
- Z = Inteiros = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
- Q = números racionais = {qualquer fração de dois inteiros expressa como a / b dos quais b não é igual a 0}
- R = números reais = {o conjunto de todos os números racionais e todos os números irracionais}
Você deve ter notado que alguns sistemas numéricos são subconjuntos de outros sistemas numéricos. Por exemplo, N é um subconjunto de Z porque todos os números naturais são inteiros. No entanto, Z não é um subconjunto de N porque os números negativos não são números naturais.
O conjunto vazio e o conjunto de energia
Cada conjunto contém pelo menos um subconjunto denominado conjunto vazio . Este é um conjunto que não possui elementos. Podemos usar um par de chaves, {}, para mostrar o conjunto vazio. Mais comumente, o símbolo de conjunto vazio Ø é usado para mostrar o conjunto vazio. Como o conjunto vazio não possui elementos, podemos dizer que todos os elementos do conjunto vazio são elementos de qualquer outro conjunto. Esta definição deve soar familiar. Portanto, o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.
Vamos terminar esta lição com mais um termo denominado conjunto de potência . Um conjunto de potência é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto. Seja B = {a, b}. Em símbolos, o conjunto de potência de B, escrito como P (B), é o seguinte: P (B) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}
Provavelmente é uma boa prática sempre escrever o conjunto vazio primeiro. Todos os outros subconjuntos precisam ser escritos com a notação de conjunto apropriada, a menos que outra notação alternativa tenha sido definida, como no caso dos sistemas numéricos definidos nesta lição.
Resumo da lição
Um conjunto é uma coleção de elementos ou objetos. Um subconjunto é um conjunto formado por componentes de outro conjunto. Um subconjunto adequado é um subconjunto que não é igual ao conjunto ao qual pertence. Um conjunto vazio é um conjunto que não possui elementos. Um conjunto de potência é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto.
Termos-chave dos subconjuntos
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- Conjunto – Uma coleção de objetos ou elementos
- Subconjunto – uma coleção de componentes de outro conjunto
- Subconjunto adequado – um subconjunto desigual do conjunto ao qual pertence
- Conjunto vazio – um que não contém elementos
- Conjunto de potência – reúne todos os subconjuntos de um conjunto
Resultados de Aprendizagem
Assim que esta lição terminar, os alunos deverão ser capazes de:
- Determine o que compõe conjuntos e subconjuntos
- Descreva as maneiras de identificar subconjuntos
- Defina os tipos de conjuntos e subconjuntos