Sistemas inconsistentes e dependentes
Esta vídeo aula é sobre sistemas inconsistentes e dependentes ou coleções de equações. O que eles são? Sistemas inconsistentes são aqueles sistemas que não têm solução. Dependentesistemas são aqueles sistemas que possuem um número infinito de soluções. Pense em inconsistente e dependente como um semáforo. Um semáforo inconsistente nunca funciona quando você chega lá. Você recebe uma luz vermelha toda vez que chega lá e vê todos os outros carros indo, mas sua luz continua vermelha. Você espera várias rodadas e a luz continua vermelha. Depois de um tempo, você evita esse semáforo inconsistente porque sabe que não chegará a lugar nenhum. Um semáforo dependente, por outro lado, sempre dá a luz verde na hora certa. Você confia neste semáforo uma e outra vez porque sabe que sempre que chegar lá, você receberá um sinal verde. Então, embora você nunca vá para um semáforo inconsistente, já que não há soluções para você,
Por que você deve aprender sobre isso? Você encontrará esses tipos de sistemas à medida que avança nas aulas de matemática. Depois de perceber que o sistema com o qual está trabalhando é inconsistente ou dependente, você pode dizer que o sistema não tem solução única porque não tem solução ou tem um número infinito de soluções. O que causa essas situações? Para o cenário de sistema inconsistente, isso acontece quando pelo menos duas das equações não se cruzam no gráfico. Isso significa que eles nunca se encontram ou se tocam. Portanto, para linhas, significa que pelo menos duas das linhas são paralelas. Para planos, significa que pelo menos dois dos planos são paralelos entre si. Para um sistema dependente, significa que todas as equações representam graficamente a mesma linha ou plano. Como todas as equações são iguais, não existe uma solução única. Em vez de,
Eliminação gaussiana
Agora que sabemos o que são sistemas inconsistentes e dependentes, podemos perguntar se podemos ou não usar a eliminação gaussiana para nos ajudar a resolvê-los. A eliminação gaussiana é o processo de transformar o sistema de equações em uma matriz e, em seguida, usar operações de matriz para mudar a matriz para a forma escalonada de linha, onde a diagonal inferior é composta por zeros. Neste ponto, podemos usar a última equação para resolver a última variável. Podemos então substituir essa resposta e substituí-la na penúltima equação para encontrar a próxima variável. Continuamos trabalhando nosso caminho de volta até que tenhamos todas as nossas variáveis. Reserve um momento para atualizar suas habilidades de eliminação gaussiana, se necessário. Claro, a eliminação de Gauss funciona se tivermos uma solução única, mas isso funcionará para sistemas inconsistentes ou dependentes?
A resposta curta é não, não funcionará. Por que não funciona? O que acontece quando tentamos resolver esses tipos de sistemas usando a eliminação de Gauss? Vejamos alguns exemplos para ver o que acontece.
Solução de sistema inconsistente
Vejamos primeiro um sistema que é inconsistente. Vamos ver o que acontece quando aplicamos a eliminação gaussiana a ele.
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Aplicando a eliminação Gaussiana, criamos nossa matriz anotando os números associados às variáveis, bem como os números constantes. Obtemos esta matriz aumentada:
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Queremos eliminar o 1 inicial na segunda linha e o 1 inicial na terceira linha. Para eliminar o 1 na segunda linha, podemos prosseguir e subtrair a primeira linha da segunda para criar uma nova segunda linha. Obtemos 0, 0, 0, 3. Ei, ei, ei! Isso é mesmo possível? Se traduzirmos esta linha de volta para a forma de equação, obteremos 0 = 3. Esta é uma afirmação válida? Não, não é. O que isso significa? Isso significa que não podemos continuar porque não existe uma solução única.
Vemos que para sistemas inconsistentes, quando tentamos usar a eliminação gaussiana, terminamos com uma afirmação falsa. Isso nos diz que não existe uma solução única e não podemos continuar.
Solução de sistema dependente
Bem, e o caso do sistema dependente? O que acontece quando tentamos usar a eliminação de Gauss para este tipo de sistema? Vamos dar uma olhada.
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Primeiro, mudamos isso para a forma de matriz:
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Aplicando a eliminação de Gauss, precisamos fazer o início 1 na segunda linha 0, e precisamos fazer o primeiro 4 e então o -8 na terceira linha 0. Podemos fazer o início 1 na segunda linha 0 multiplicando o segunda linha por -2 e, em seguida, adicioná-lo à primeira linha para criar uma nova segunda linha. Fazendo isso, obtemos 0, 0, 0 e 0. Ok, isso é interessante. Não é uma declaração falsa, então vamos continuar.
Para a terceira linha, podemos multiplicar a primeira linha por -2 e adicioná-la à terceira para obter uma nova terceira linha. Fazendo isso, obtemos 0, 0, 0 e 0 para a nova terceira linha. Hmm. Isso também é interessante. Isso me deixa com apenas uma equação no topo, já que as outras duas equações são 0 = 0, o que não significa nada. Bem, precisamos parar porque vemos que não podemos ir mais longe para obter uma solução única.
Se você pegar esses mesmos sistemas e tentar outros métodos para resolvê-los, encontrará outros obstáculos. Tudo isso significa que não há método para resolver sistemas inconsistentes ou dependentes porque não há uma solução única que possa ser encontrada.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos agora. Aprendemos que sistemas inconsistentes são aqueles sistemas que não têm solução, e sistemas dependentes são aqueles sistemas que possuem um número infinito de soluções. A eliminação de Gauss, um método de resolução de sistemas de equações, não pode ser usada para resolver sistemas inconsistentes e dependentes. Como nenhum tipo de sistema tem uma solução única, nenhum método de resolvê-los pode ser usado. Todos eles produzirão resultados que não significam nada ou que não fazem sentido.
Resultados de Aprendizagem
Ao terminar esta lição, você será capaz de:
- Descreva sistemas inconsistentes e dependentes
- Explique por que a eliminação de Gauss não pode ser usada para resolver esses sistemas