Sistema de Equações
Um sistema de equações é um conjunto de equações que possuem as mesmas variáveis. Por exemplo, considere o conjunto das duas equações a seguir:
2 x + y = 8
-4 x – 3 y = -20
Este é um sistema de equações em x e y . O conjunto de solução de um sistema de equações é o conjunto de todos os valores das variáveis que tornam cada uma das equações do sistema verdadeira. Por exemplo, o conjunto de soluções para o sistema de equações acima é x = 2 e y = 4, porque se ligar estes valores por x e y em cada uma das equações, eles fazem as equações verdadeiras:
2 (2) + 4 = 8
-4 (2) – 3 (4) = -20
O conjunto de soluções também pode ser pensado como o conjunto de pontos de interseção nos gráficos das equações do sistema. Esta imagem mostra o gráfico do nosso sistema de equações. Observe que seu ponto de interseção é (2,4):
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Para ilustrar como esses sistemas podem ser usados, vamos considerar um exemplo. Suponha que você queira comprar um lenço azul ou vermelho. Você não pode decidir qual cor deseja, então decide apenas escolher a que for mais barata. Você conhece o varejista de quem deseja comprar o lenço, mas não sabe o preço de cada um dos lenços. No entanto, dois de seus amigos compraram cachecóis lá e eles têm seus recibos.
Seu primeiro amigo comprou 1 lenço azul e 1 lenço vermelho e pagou $ 35,00 no total. Seu outro amigo comprou 2 lenços azuis e 3 lenços vermelhos e pagou $ 85,00. Se deixarmos b = o custo de um lenço azul er = o custo de um lenço vermelho, podemos configurar um sistema de equações para representar a situação:
b + r = 35
2 b + 3 r = 85
Observe que se inserirmos 20 para be 15 para r em cada uma das equações, ambas as equações serão verdadeiras:
20 +15 = 35
2 (20) + 3 (15) = 85
Assim, (20,15) é a solução; ou seja, um lenço azul custa $ 20 e um lenço vermelho custa $ 15. Assim, você decide que vai comprar o lenço vermelho.
Um sistema consistente de equações
Quando se trata da solução de um sistema de equações, existem três resultados possíveis:
- Um número finito de soluções
- Infinitamente muitas soluções
- Sem solução
Os sistemas de equações podem ser classificados em duas categorias: consistentes e inconsistentes. Um sistema consistente de equações é um sistema que tem pelo menos uma solução. Um sistema de equações inconsistente é um sistema que não tem solução. Assim, das três possibilidades de soluções de um sistema, vemos que as duas primeiras possibilidades representam sistemas consistentes porque possuem pelo menos uma solução, e a terceira possibilidade representa um sistema inconsistente porque não tem solução.
Exemplos e não exemplos
Considere o seguinte sistema de equações:
4 x – y = 1
-8 x + 2 y = 4
Agora, vamos examinar o gráfico deste sistema:
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Observe que o gráfico mostra que parece que as duas linhas das equações são paralelas. As linhas paralelas nunca se cruzam, mas a solução do sistema consiste em todos os pontos de intersecção do sistema. Como as linhas nunca se cruzam, não há pontos em nossa solução. Isso nos diz que o sistema não tem solução. Portanto, este sistema não é consistente; é um sistema inconsistente. Isso ilustra um não exemplo de um sistema consistente.
Vamos considerar outro exemplo. Suponha que você esteja tentando encontrar dois números de forma que se multiplicarmos o primeiro número pelo segundo menos 2, obteremos 0. Além disso, se elevarmos ao quadrado os dois números e adicioná-los, obteremos 13. Se deixarmos x representar o primeiro número e y representam o segundo número, podemos representar este cenário com o seguinte sistema:
x ( y – 2) = 0
x ^ 2 + y ^ 2 = 13
Observe o gráfico das equações neste sistema se cruzam em dois pontos diferentes:
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Vemos que os pontos de intersecção dos gráficos são (3,2) e (-3,2). Como o sistema tem pelo menos uma solução, o sistema é consistente.
Um último exemplo de um sistema consistente seria um sistema que tem infinitas soluções, como a seguinte:
3 x + y = 4
9 x + 3 y = 12
O gráfico do sistema é mostrado:
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Observe que os gráficos das equações no sistema são o mesmo gráfico. Isso significa que os gráficos se cruzam em todos os lugares, portanto, existem infinitas soluções para o sistema. Este seria um sistema consistente porque tem pelo menos uma solução.
Resumo da lição
Um sistema de equações é um grupo de equações com as mesmas variáveis. Um conjunto de soluções para um sistema de equações consiste em todos os valores das variáveis que podemos inserir e que tornariam todas as equações do sistema verdadeiras. Também podemos pensar em um conjunto de soluções como os pontos de interseção de todos os gráficos das equações no sistema.
Um sistema de equações tem infinitas soluções, infinitamente muitas soluções ou nenhuma solução. Quando o sistema tem pelo menos uma solução, chamamos o sistema de consistente , e quando um sistema não tem soluções, chamamos o sistema de inconsistente . Usamos sistemas de equações para resolver muitos problemas do mundo real envolvendo mais de uma variável desconhecida. Quando temos um sistema consistente, podemos encontrar uma solução para o nosso problema, por isso é importante estar familiarizado com esses tipos de sistemas.