Expressões Complexas
Nesta vídeo-aula, falaremos sobre expressões complexas . Estas são as expressões matemáticas que incluem números complexos, que contêm uma parte real e uma parte imaginária. Pense na parte imaginária de uma expressão matemática como sua sombra quando você estiver na sombra. Você sabe que tem uma sombra, mas quando está na sombra, você não a vê. O mesmo é verdade com uma expressão complexa; você sabe que tem uma parte imaginária, mas simplesmente não consegue vê-lo na reta numérica.
Os números complexos se parecem com binômios porque têm dois termos. Por exemplo, 3 + 4 i é um número complexo, bem como uma expressão complexa. Parece um binômio com seus dois termos. Veja a letra i ? Isso indica qual parte é a parte imaginária. Nesse caso, 4 é a parte imaginária.
A letra i
Vamos falar um pouco sobre i . Definimos i como a raiz quadrada de -1. Portanto, i ao quadrado é igual a -1. Chamamos oi de imaginário porque não existe raiz quadrada de um número negativo. No mundo real, a raiz quadrada de -1 é indefinida. Tente obter a raiz quadrada de -1 em uma calculadora e você verá que não consegue. Assim como sua sombra não está lá quando você está na sombra, a mesma parte é verdadeira com esta parte imaginária. No entanto, i é útil para lidar com alguns problemas teóricos complexos que você pode encontrar em seus estudos matemáticos posteriores.
Quando se trata de simplificar nossas expressões complexas, a letra i é útil quando precisamos lidar com raízes quadradas negativas. Como oi é definido como a raiz quadrada de -1, podemos usá-lo para simplificar qualquer raiz quadrada. Por exemplo, embora a raiz quadrada de -9 não seja válida no mundo real, usando a letra i podemos simplificá-la para 3 i em uma expressão complexa.
Simplificando uma raiz quadrada
Como simplificamos a raiz quadrada de -9 para 3 i ? Dividimos a raiz quadrada de -9 em duas raízes quadradas multiplicadas uma com a outra. Temos a raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de 9. Sabemos que a raiz quadrada de 9 é 3 e, de nossa definição de i , temos a raiz quadrada de -1 como i . Então, terminamos com a raiz quadrada de -9 sendo 3 i .
Vejamos como simplificar outra raiz quadrada: a raiz quadrada de -32. Como fazemos isso? Primeiro dividimos essa raiz quadrada na raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de 32. Em seguida, podemos substituir um i pela raiz quadrada de -1. Agora, podemos trabalhar na simplificação da raiz quadrada de 32. Podemos dividir a raiz quadrada de 32 na raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 16. Podemos dividir qualquer raiz quadrada em quaisquer dois números que, quando multiplicados juntos, nos dão nosso número original. Devemos saber a raiz quadrada de um desses números.
Em nosso caso, escolhemos 2 e 16 porque 2 * 16 = 32 e porque sabemos a raiz quadrada de 16. Portanto, temos a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 16 é igual à raiz quadrada de 32. Sabemos a raiz quadrada de 16 é 4, então podemos substituir um 4 pela raiz quadrada de 16. A raiz quadrada de 2 não podemos fazer nada a respeito, então deixamos assim. Depois de simplificar, temos a raiz quadrada de -32 igual a 4 i vezes a raiz quadrada de 2.
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Simplificando uma expressão complexa
Agora que sabemos como simplificar nossas raízes quadradas, podemos simplificar facilmente qualquer expressão complexa com raízes quadradas. Usamos uma combinação de habilidades de álgebra e habilidades de simplificação de raiz quadrada para simplificar nossas expressões complexas. Tratamos i como uma variável e quaisquer números associados a ele como um coeficiente.
Vejamos um exemplo. Para simplificar 5 + i + a raiz quadrada de -36, primeiro simplificamos a raiz quadrada de -36. Para fazer isso, primeiro dividimos a raiz quadrada de -36 em raiz quadrada de -1 e raiz quadrada de 36. A raiz quadrada de 36 simplifica para 6 e temos a raiz quadrada de -36 é 6 i . Nossa expressão agora é 5 + i + 6 i . Usando nossas habilidades de álgebra, combinamos oi e o 6i para nos tornarmos 7i . Nossa expressão simplificada é 5 + 7 i . Acabamos.
Vamos tentar outro. Simplifique 3 + 4 * a raiz quadrada de -3. Primeiro simplificamos a raiz quadrada de -3. Dividimos -3 em -1 e 3 para obter a raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de 3. Não podemos fazer nada com a raiz quadrada de 3, mas podemos substituir um i pela raiz quadrada de – 1 Nossa expressão muda para 3 + 4 i * a raiz quadrada de 3 e pronto.
Resumo da lição
O que aprendemos agora? Aprendemos que expressões complexas são expressões matemáticas que incluem números complexos, que contêm uma parte real e uma parte imaginária. A parte imaginária é representada por uma letra i .
Definimos i como a raiz quadrada de -1 ei ao quadrado é igual a -1. Usamos a letra i para nos ajudar quando precisamos simplificar as raízes quadradas de números negativos. Assim como sua sombra na sombra é invisível, também o é a parte imaginária dos números complexos.
Não existe raiz quadrada de um número negativo no mundo real, mas no mundo imaginário ela é representada por um i . Por exemplo, a raiz quadrada de -9 é 3 i . Para simplificar qualquer raiz quadrada, dividimos a raiz quadrada em duas raízes quadradas, onde os dois números se multiplicam para nossos números originais e onde conhecemos a raiz quadrada de um dos números.
Por exemplo, para simplificar a raiz quadrada de 32, nós a dividimos em raiz quadrada de 2 e raiz quadrada de 16 porque 2 * 16 = 32 e sabemos o que a raiz quadrada de 16 é igual. Para simplificar expressões complexas, usamos nossas habilidades de álgebra e nossas habilidades de simplificação de raízes quadradas.
Resultados de Aprendizagem
Depois de terminar esta lição, você será capaz de:
- Descreva uma expressão complexa
- Defina a letra i
- Simplifique raízes quadradas negativas e expressões complexas