A série Maclaurin para f ( x ) = ln (1 + x )
A expressão geral para a série Maclaurin é dada pela fórmula:
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A formulação da série Maclaurin está completa quando especificamos a região de convergência. Vamos detalhar cuidadosamente cinco etapas para determinar a série Maclaurin de f ( x ) = ln (1 + x ).
Etapa 1: Encontre Derivados para f ( x )
A derivada de ln ( x ) é 1 / x . Assim, a derivada de ln (1 + x ) é 1 / (1 + x ):
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A segunda derivada de f ( x ) é a derivada de f ‘( x ):
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Escrevemos 1 / (1 + x ) como (1 + x ) -1 :
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A derivada de (1 + x ) -1 é (-1) (1 + x ) -2 onde o expoente, -1, vai na frente e o expoente foi reduzido em 1 para se tornar -2:
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Movendo (1 + x ) -2 para o denominador, obtemos:
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Diferenciar novamente resultará em 2 / (1 + x ) 3 :
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A próxima derivada será -6 / (1 + x ) 4 . A próxima derivada será 24 / (1 + x ) 5 . Olhando para a frente, será definitivamente útil ter uma expressão geral para a n- ésima derivada. Vamos examinar isso.
- Observe que os sinais alternam entre positivos e negativos. Expressamos isso como (-1) n +1 para n = 1, 2, 3, etc.
- O numerador da derivada é 1, 1, 2, 6, 24,. . . para n = 1, 2, 3, 4, 5,. . . que concorda com ( n – 1)! Nota 0! = 1, 1! = 1 e 2! = 2 (1) = 2. O símbolo do ponto de exclamação é denominado fatorial .
- O denominador é (1 + x ) elevado a n .
Assim, a n- ésima derivada é a seguinte:
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Etapa 2: avalie esses derivados ef ( x ) em x = 0
Para f ( x ) = ln (1 + x ), seja x = 0. Assim, f (0) = ln (1 + 0) = ln (1) = 0, o que significa que o primeiro termo desta série é 0. O primeiro 4 derivados avaliados em x = 0.
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A propósito, a expressão para a n- ésima derivada avaliada em x = 0.
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Usaremos isso mais tarde, quando determinarmos a região de convergência.
Etapa 3: Monte a Soma dos Produtos
Lembra da primeira linha da expressão geral para a série Maclaurin?
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Vamos substituir o que sabemos nesta expressão.
Como já mostrado, f (0) = 0.
O segundo termo é:
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O terceiro termo é um pouco mais complicado:
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Usando a primeira linha como modelo, podemos deduzir os termos que se seguem. No quarto período, veremos um 3! no denominador, que avalia para 3 (2) (1) = 6. Com o 2 no numerador dá 2/6, que se reduz para 1/3. Como você pode ver, isso é basicamente igual a:
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O quinto mandato terá 4! = 4 (3) (2) (1) = 24. O numerador é 6, resultando em 6/24 = 1/4. Como você pode ver, isso acaba se transformando em:
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Assim, a série Maclaurin para ln (1 + x ) é esta:
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Etapa 4: Encontre o Termo Geral
Precisaremos do termo geral quando explorarmos a região de convergência. Na linha dois da expressão geral, vemos:
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Lembre-se da n- ésima derivada avaliada em x = 0, que é:
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Assim, o termo geral acaba sendo:
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Que é válido para n = 1, 2, 3, etc. Observe que n! é n ( n -1) ( n -2). . . (1) ou apenas n ! = n ( n -1) !. O ( n -1)! termos cancelar deixando 1 / n .
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Etapa 5: Encontre a Região de Convergência
A região de convergência nos diz os valores de domínio de x para os quais a série de Maclaurin é válida. Usando o teste de razão, uma série converge se a equação que você está vendo na tela for mantida.
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O A n é o termo geral. Portanto,
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A n +1 é A n com n = n + 1:
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A proporção A n +1 / A n :
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x n +1 dividido por x n é x elevado a (n + 1) – n que é x 1 = x . O (-1) na frente vem da divisão (-1) n +2 por (-1) n + 1 dando (-1) ( n +2) – ( n +1) = (-1) 1 = (- 1).
Tomando o valor absoluto, como fazemos aqui, obtemos:
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n / ( n + 1) é sempre positivo, portanto, sai do valor absoluto.
Tomando o limite conforme n vai para o infinito:
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O valor absoluto de x não depende de n, então ele foi movido para fora do limite.
O limite de n / ( n + 1) conforme n vai para o infinito é 1. Assim, a série de Maclaurin que encontramos convergirá para ln (1 + x ) fornecido | x | <1. Em termos de região, | x | <1 significa -1 < x <1. Verificamos agora os pontos finais: 1 e -1.
Em x = 1, a série, 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + assim por diante, é uma série alternada que converge; x = 1 está incluído.
Em x = -1, a série, -1 – 1/2 -1/3 – 1/4 -. . . , é uma série harmônica, que não converge; x = -1 não está incluído. A região de convergência é (-1, 1] também escrita como -1 < x ≤ 1.
Então, vamos dar uma olhada no nosso resultado final. A série Maclaurin para ln (1 + x) é o que você está olhando na tela e a região de convergência é (-1, 1].
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A expressão de soma
A terceira linha na expressão geral é uma forma compacta de escrever a série Maclaurin, que você deve se lembrar de antes. Se não, você pode ver o layout.
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O termo geral está à direita e o Σ significa que somamos de n = 0 a n = ∞.
Para ln (1 + x ), a soma começa em n = 1 (o termo n = 0 é 0):
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Esta declaração compacta de ln (1 + x ) quando expandida fornece o mesmo resultado da série Maclaurin que obtivemos anteriormente.
Resumo da lição
Vamos fazer uma breve recapitulação do que aprendemos sobre a solução da série Maclaurin para ln (1+ x ). As cinco etapas para determinar a série Maclaurin de f ( x ) = ln (1+ x ) são as seguintes.
- Encontre derivadas para f ( x )
- Avalie essas derivadas ef ( x ) em x = 0
- Monte a soma dos produtos
- Encontre o termo geral
- Encontre a região de convergência