Contra-exemplos e a série harmônica
Uma série matemática é a soma de todos os números, ou termos, em uma sequência matemática. Uma série converge se sua seqüência de somas parciais se aproxima de um número finito conforme a variável fica maior ou menor. Por outro lado, uma série diverge se sua sequência de somas parciais não se aproxima de um número finito. O limite de suas somas parciais em uma série divergente pode ser inexistente; também pode ser infinito positivo ou negativo.
Um dos testes mais fáceis e úteis que você pode usar para determinar se uma série diverge trata do limite dos termos na série. Você pode ter aprendido que, se o limite dos termos da série não for zero, a série deve divergir. Mas e se o limite dos termos da série for de fato zero? Isso implica que as séries devem sempre convergir? Existem muitos exemplos em que isso é verdade – a saber, as séries geométricas. Existem exemplos de quando isso é falso?
Insira a série harmônica . A série harmônica é a soma de n = 1 ao infinito com termos 1 / n . Se você escrever os primeiros termos, a série se desdobra da seguinte forma: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +. . .etc.
Como n tende para o infinito, 1 / n tende para 0. No entanto, a série realmente diverge. Embora estejamos adicionando números extremamente pequenos de 1 / n , conforme n se torna gigantesco, nossas somas parciais ainda estarão crescendo sem limites.
Prova de Divergência
Vamos dar uma olhada em uma prova que pode nos mostrar que a série harmônica é realmente divergente. Começaremos bancando o advogado do diabo e supondo que a série harmônica seja convergente. Ao fazer essa suposição, nosso objetivo é criar algum tipo de contradição clara. Usaremos essa contradição para mostrar que nossa suposição inicial, a convergência da série harmônica, deve ser falsa, e a série harmônica é divergente. Como estamos assumindo que a série harmônica é convergente, vamos supor que o valor da série seja igual a algum número finito H.
Ou seja, H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +. . .etc.
- Vamos manipular o lado direito da soma tornando-o menor. Sabemos que 1/3> 1/4, então vamos substituir 1/3 em nossa soma por 1/4, levando em consideração o fato de que nossa soma ficou menor. Portanto, H> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +. . .etc.
- Da mesma forma, 1/5> 1/6, 1/7> 1/8 e assim por diante. Ao substituir esses números maiores pelos menores, vemos que o lado direito fica cada vez menor, então H> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 + 1/8 + 1/8 +. . .etc.
- Agora, vamos adicionar 1/4 + 1/4, 1/6 + 1/6, 1/8 + 1/8 e assim por diante. Vemos então que H> 1 + 1/2 + 2/4 + 2/6 + 2/8 +. . .etc.
- Reduzindo essas frações à sua forma mais baixa, obtemos H> 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. . .etc.
- Podemos trocar o lugar do 1 com o primeiro 1/2 para obter H> 1/2 + 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. . .etc.
Observe que, nesta soma, temos 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +. . ., que é a série harmônica que assumimos tem uma soma igual a H. Podemos substituir um H pela soma e ver que H> 1/2 + H. Subtraindo H de ambos os lados, vemos que 0> 1/2 – mas isso é um absurdo. Essa é a contradição que esperávamos encontrar. Isso implica que nossa suposição original, de que a série harmônica é convergente, deve ser falsa. Portanto, a série harmônica é divergente.
Resumo da lição
A série harmônica é importante porque fornece um contra-exemplo simples para a afirmação, ‘se o limite dos termos na série é zero, então a série deve convergir.’ Lembre-se de que a série harmônica diverge, embora o limite dos termos na série seja zero. Em uma série harmônica , os números, ou termos, ficam menores, enquanto a soma das séries fica maior. Compreender as propriedades das séries harmônicas é a chave para entender os conceitos básicos por trás das séries e somas infinitas.