Como encontrar uma série de Taylor
Uma série de Taylor é uma série infinita de termos. Esses termos têm a forma de uma potência de x multiplicada por um coeficiente. Quando os termos da série são somados, podemos aproximar uma função com um valor específico de x , desde que o valor esteja dentro do intervalo de convergência da função. Não mostraremos isso, mas a série de Taylor para sin ( x ) funciona para todos os valores de x .
Encontraremos a série de Taylor para sin ( x ) usando a expressão geral para a série de Taylor. Isso significará calcular várias derivadas, substituí-las e, em seguida, simplificar.
Abaixo está a expressão geral para a série de Taylor de uma função f ( x ):
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Isso é um pouco, não é? Aqui está uma expressão compacta para a mesma soma de termos:
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Na expressão acima, x o é o valor de x sobre o qual a série é calculada. Os sobrescritos indicam derivados. Assim, f (1) é a primeira derivada, f (2) é a segunda derivada e assim por diante. O Σ significa » soma » e significa que tomamos valores de n de 0 a ∞. Substituímos estes n ‘s um de cada vez na expressão à direita de Σ. Cada um desses termos são somados.
O ponto de exclamação é o fatorial, o que significa:
2! = 2 (1) = 2
3! = 3 (2) (1) = 6
e assim por diante.
Em geral,
n ! = n (n-1) (n-2)… (1).
Além disso, 1! = 1 e 0! = 1.
Agora, vamos percorrer as etapas para encontrar a série de Taylor para sin ( x ).
Etapa 1: Encontre as derivadas de f ( x ).
Há um número infinito de termos usados na soma. Vamos trabalhar os primeiros seis termos nesta lista abaixo.
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É importante notar que, para a função seno, as derivadas se repetem a cada quatro diferenciações. Assim, a quarta derivada de sin ( x ) é sin ( x ); a quinta derivada de sin ( x ) é a mesma que a primeira derivada e assim por diante.
Etapa 2: Avalie essas derivadas em x o
Por enquanto, vamos manter as coisas gerais e simplesmente substituir x o por x nas derivadas, que você pode ver aqui:
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Etapa 3: Substituição
A terceira e última etapa é substituir as derivadas na expressão geral da série de Taylor. A lista abaixo que mostra as diferentes expressões com as derivadas substituídas é a série de Taylor para sin ( x ).
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Aproximação
Podemos obter uma aproximação de série finita para f ( x ) parando a soma em algum valor de n . Isso é chamado de polinômio de série de Taylor ou série de Taylor truncada. Nos exemplos a seguir, mantemos os 6 primeiros termos somando n = 5.
Os dois pontos sobre os quais examinaremos são 0 o e 150 o . Em primeiro lugar, as medidas dos ângulos devem ser em radianos. Assim, x o = 0 o é 0 radianos e x o = 150 o = 150π / 180 radianos.
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Avaliando sobre x o = 0 para -π ≤ x ≤ π, obtemos:
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Observando sin (0) = 0 e cos (0) = 1, obtemos:
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Simplificando ainda mais, obtemos:
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Estes são os três primeiros termos da série Maclaurin para sin ( x ). Uma série Maclaurin é um tipo específico de série de Taylor avaliada em x o = 0.
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A curva azul no gráfico acima é a aproximação da série. Esta curva é traçada com a curva seno para comparação. Surpreendentemente, há uma correspondência muito boa para valores próximos a x = 0, mas a correspondência não é muito boa a 150 o .
Isso sugere que a avaliação desta série de Taylor truncada é de cerca de x o = 150π / 180 = 2,6180 radianos, como você pode ver nas equações abaixo:
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Observe, nessas equações, sin (2,6180) = 1/2 e cos (2,6180) = -√3 / 2:
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Simplificando ainda mais, obtemos os próximos resultados:
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Agora podemos plotar esse resultado em um gráfico. Traçando este resultado ao longo de um intervalo de 2π centrado em 150 o sobreposto na curva seno:
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Mais uma vez, a curva azul é a aproximação da série, mas desta vez estamos avaliando cerca de 150 o em vez de 0. Como esperado, há excelente concordância em cerca de 150 o , mas à medida que nos afastamos de 150 o , a aproximação para o seno a curva fica pior.
Assim, mesmo com um pequeno número de termos, podemos obter uma boa aproximação da função seno em um intervalo de um determinado valor.
Resumo da lição
Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos sobre como descobrir a série Taylor para sin ( x ). Nesta lição, aprendemos que uma série de Taylor é uma série infinita de termos e que esses termos têm a forma de uma potência de x multiplicada por um coeficiente. Quando os termos da série são somados, podemos aproximar uma função com um valor específico de x, desde que o valor esteja dentro do intervalo de convergência da função. Também aprendemos a expressão geral de uma série de Taylor, bem como a expressão geral mais complexa que aparece abaixo:
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Nesta expressão, x o é o valor de x sobre o qual a série é calculada. Os sobrescritos indicam derivados. O Σ significa » soma » e significa que tomamos valores de n de 0 a ∞. O ponto de exclamação é o fatorial.
Também aprendemos que as três etapas para resolver uma série de Taylor são as seguintes:
- Encontre as derivadas de f ( x )
- Avalie essas derivadas em x o .
- Substituição.
Também aprendemos que podemos obter uma aproximação de série finita para f ( x ) parando a soma em algum valor de n , que é chamado de polinômio de série de Taylor ou série de Taylor truncada.
Também aprendemos sobre os três primeiros termos da série Maclaurin para sin ( x ). Uma série Maclaurin é um tipo específico de série de Taylor avaliada em x o = 0.
Tudo isso é bastante complexo, com certeza, mas agora você deve saber como resolver uma série de Taylor para sin ( x ).