A Expressão da Série Taylor
A série de Taylor representa uma função de x onde a função é avaliada sobre um valor, a . Como uma soma infinita, temos isso:
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O símbolo Σ significa » somatório ». Avaliamos a expressão à direita de Σ para n = 0 e, em seguida, este resultado é adicionado à expressão avaliada para n = 1, n = 2 e assim por diante até n = ∞. Vamos expandir essa soma nos primeiros 5 termos:
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Passos da série Taylor
Aqui estão as etapas para encontrar a série de Taylor de ln (1 + x ).
Etapa 1: Calcule as primeiras derivadas de f ( x ).
Vemos na fórmula, f ( a ). Isso é f ( x ) avaliado em x = a . Então, vemos f ‘( a ). Esta é a primeira derivada de f ( x ) avaliada em x = a .
Assim, o primeiro passo é calcular as derivadas da função, f ( x ) = ln (1 + x ).
A derivada de ln (1 + x ) = 1 / (1 + x ) vezes a derivada de 1 + x . A derivada de 1 + x = 0 + 1 = 1. Até agora temos o seguinte:
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E isto:
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Para encontrar a próxima derivada, observe 1 / (1 + x ) é o mesmo que (1 + x ) -1 . A derivada de (1 + x ) -1 é (-1) (1 + x ) -2 , que é igual a -1 / (1 + x ) 2 . Portanto:
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Diferenciando novamente, temos isto:
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Vamos fazer mais um.
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Escrevemos 6 como 3 !. O ponto de exclamação é o fatorial , significando 3 (2) (1). Observe que poderíamos ter escrito 2 como 2! porque 2! = 2 (1). Já agora, 1! é 1 e 0! também é igual a 1.
Etapa 2: Avalie a função e suas derivadas em x = a .
Pegue cada um dos resultados da etapa anterior e substitua a por x . Para f ( x ) = ln (1 + x ), obtemos f ( a ) = ln (1 + a ). Para a primeira derivada:
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Da mesma forma, para cada um dos derivados que avaliamos anteriormente:
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Etapa 3: preencha o lado direito da expressão da série de Taylor.
Agora construímos a série Taylor a partir disso:
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Isso nos dá o seguinte:
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Na terceira linha, vemos 2! mais de 3 !. Isso pode ser simplificado porque 2! / 3! = 2 (1) / 3 (2) (1) = 1/3. Da mesma forma, na próxima linha, 3! / 4! = 1/4. Nossa expressão se torna esta:
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Etapa 4: escreva o resultado usando um somatório.
Ter um somatório de um termo geral será útil para determinar o intervalo de convergência , ou o conjunto de valores x para onde uma série converge. Após o termo ln (1 + a ), vemos o numerador com um termo ( x – a ) elevado a potências cada vez mais altas. Da mesma forma, o denominador tem um termo (1 + a ) que cresce com poderes crescentes. Também existe um número inteiro no denominador que aumenta linearmente. Por último, o sinal dos termos alterna.
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Você pode tentar expandir essa soma para se convencer de que realmente representa os termos de nossa expressão.
Solução
Portanto, a série de Taylor de ln (1 + x ) sobre o ponto a é esta:
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Intervalo de Convergência
Vamos encontrar o intervalo de convergência. O termo geral, A n , é este:
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Substituindo n por n + 1, obtemos A n +1 :
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O teste de proporção diz que uma série convergirá desde que:
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Sem mostrar todos os detalhes, pegamos a proporção de A n +1 para A n e simplificamos para obter:
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Pegue o valor absoluto e calcule n sobre n + 1:
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Pegue o limite quando n vai para ∞ e defina este resultado <1:
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Temos que considerar x e a . O primeiro termo da série é ln (1 + a ). Como o logaritmo é válido apenas para argumentos positivos, exigimos 1 + a > 0; ou seja, a > -1.
O valor absoluto de um quociente é o quociente dos valores absolutos.
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É o mesmo que:
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Quando expandimos o valor absoluto, obtemos:
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E então adicionamos a cada parte da desigualdade:
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Agora, para a > -1, 1 + a nunca é negativo. Assim, o | 1 + a | é o mesmo que (1 + a ). Isso significa:
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e
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Agora verificamos cada um dos terminais. Sem mostrar os detalhes, quando substituímos x = -1 na série, obtemos o negativo da série harmônica, que não converge. Portanto, x = -1 não faz parte do intervalo. Se substituirmos 1 + 2 a na série, obteremos uma série harmônica alternativa que converge. Assim, 1 + 2 a está incluído. O intervalo de convergência é -1 < x ≤ 1 + 2 a para a > -1.
Digamos que desejamos uma aproximação de série de Taylor para ln (1 + x ) sobre a = 2. Então, a série convergirá para os valores de x dentro do intervalo de convergência. O ponto do lado esquerdo é -1 e o ponto do lado direito é 1 + 2 a = 1 + 2 (2) = 5. Assim, esperamos uma boa correspondência com a função quando -1 < x ≤ 5.
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A função ln em azul está sendo aproximada com os primeiros 6 termos da série de Taylor sobre a = 2 (em verde). Conforme previsto pelo intervalo de convergência, essas duas curvas estão próximas entre -1 e 5. Aumentar o número de termos na soma melhorará a convergência em x = 5, mas nunca haverá convergência em x ≤ -1. Assim, nossa escolha de a nos permite focar em um intervalo de interesse desde a > -1.