Power Series em X
Minha parte favorita da loja de ferragens é a seção de ferramentas elétricas, especialmente as ferramentas movidas a bateria. Por falar em potência e ferramentas, existe esta ferramenta matemática chamada série de potências em x .
Uma série de potências em x é uma soma infinita de termos onde cada termo é um fator que multiplica um x mais uma constante elevada a uma potência.
Construindo uma série de potências
O infinito é um monte de termos a adicionar! E se começarmos com os primeiros 4 termos? A soma desses quatro termos pode ser semelhante a:
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Deixamos x assumir um valor. Em seguida, adicionamos os quatro termos e obtemos um resultado. E se deixarmos x ter valores de -5 a -1? Então, poderíamos substituir esses valores por x , somar os quatro termos e salvar os resultados. Traçando esses resultados como uma função de x :
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Você pode prever como será o próximo termo desta série? Se você disse ( x + 3) ^ 4 dividido por 5, você está correto! E se somarmos os primeiros 10 termos da série? Vejamos, o décimo termo será ( x + 3) ^ 9 dividido por 10. Novamente, substitua os valores de x de -5 a -1, some os dez termos e salve os resultados. Se esses resultados para 10 termos são plotados com os resultados para 4 termos, vemos:
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Parece haver alguns valores para x em que os resultados mudaram muito quando passamos de 4 para 10 termos. Os valores à esquerda de -4 e os valores à direita de -2 são bastante diferentes. A soma permanece praticamente a mesma entre x = -4 e x = -2. Isso está ficando interessante.
Enquanto nossa bateria continua a carregar, vamos desenvolver essas idéias.
Intervalo de Convergência
Qual é o termo geral que estamos resumindo? É ( x + 3) ^ n dividido por n + 1? Vamos verificar isso. Se n = 2, temos ( x + 3) ^ 2 dividido por 3. Olhando para trás, quando somamos quatro termos, esse foi o nosso terceiro termo.
E o primeiro termo, que é 1? Sem problemas. Se n = 0 nos der ( x + 3) ^ 0 dividido por 0 + 1. O ( x + 3) ^ 0 é 1 e 0 + 1 é 1. Portanto, temos 1 dividido por 1, que é 1.
Para expressar a soma infinita a partir de n = 0, escrevemos:
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O sigma maiúsculo significa tirar a soma de n = 0 an = infinito do termo geral. Vamos usar o símbolo A n para o termo geral.
O teste de razão diz que uma série converge se
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Conhecemos o termo geral A n :
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Para obter a expressão A n +1 , substituímos n por n + 1:
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Vamos trabalhar a parte do valor absoluto primeiro:
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Como ( n + 1) / ( n + 2) é sempre maior que 0, podemos considerá-lo fora do valor absoluto:
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Agora, lidamos com a parte limite do teste de proporção:
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Como o valor absoluto de x + 3 não depende de n , nós o consideramos fora do limite. Além disso, conforme n vai para o infinito, há uma diferença desprezível entre n + 1 e n + 2, então nosso limite de ( n + 1) / ( n + 2) conforme n vai para o infinito é 1:
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A série de potências em x converge para
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Agora escrevemos cuidadosamente nossos resultados em termos de um intervalo de convergência . Este intervalo contém os valores de x que permitem a convergência das séries. O valor absoluto significa
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Resolvendo para x subtraindo 3 de cada parte da desigualdade:
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Agora temos que verificar os terminais para ver se eles pertencem a este intervalo de convergência. A soma converge em x = -2? Volte para a soma original e deixe x = -2:
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Se escrevermos alguns termos, obtemos:
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Esta é a série harmônica, que diverge. Portanto, x = -2 não faz parte do intervalo de convergência. Verificando x = -4:
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Esta é uma série alternada. À medida que n aumenta, os termos da série alternam entre positivos e negativos. Existem duas condições para a convergência de uma série alternada:
1. O termo geral vai para 0 quando n vai para o infinito? Sim, 1 / ( n + 1) vai para 0 quando n vai para o infinito.
2. Os termos diminuem? Isso significa que 1 / ( n + 1) é maior que 1 / ( n + 2)? Esta condição também é atendida.
Concluímos que o ponto final x = -4 faz parte do intervalo de convergência.
Resumindo, esta série de potências em x converge para:
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Isso concorda muito bem com nosso enredo.
Neste exemplo, um ponto final foi incluído no intervalo de convergência. Às vezes, ambos são incluídos e às vezes nenhum. Temos que verificar para cada série, assim como temos que verificar se a bateria da nossa ferramenta elétrica está totalmente carregada.
Resumo da lição
Uma soma infinita de termos em que cada termo é um fator que multiplica um x mais uma constante elevada a uma potência é chamada de série de potências em x . Freqüentemente, usamos o teste de razão para encontrar o intervalo de convergência . O intervalo de convergência define os valores de x que permitem a convergência da série infinita.