O que é uma série aritmética?
Uma série aritmética é a soma de uma sequência aritmética. Um exemplo de sequência aritmética é:
3, 7, 11, 15, 19, …
Você pode dizer pelas elipses no final da sequência, esta é uma sequência infinita. Tem uma diferença comum de 4. Para mudar isso para uma série aritmética, basta adicionar os termos da sequência da seguinte forma:
3 + 7 + 11 + 15 + 19 +…
Notação de Soma
Uma série aritmética pode ser apresentada usando as elipses; no entanto, também há uma notação específica que expressa uma série aritmética. Isso requer a letra grega maiúscula sigma.
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Se você vir este símbolo em um contexto matemático, está adicionando os elementos de uma sequência. Vejamos a noção de soma com todas as suas outras partes, conforme mostrado na Figura 1:
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A expressão 2 n + 3 é a regra para a sequência que é adicionada. A equação n = 1 abaixo do símbolo de soma nos diz que vamos começar a somar com o primeiro termo da série. O número acima do símbolo de soma representa o último termo da série. Neste exemplo, o último termo é o quarto termo. Podemos encontrar o primeiro termo inserindo 1 para n : a (1) = 2 (1) + 3 = 5. Podemos encontrar os outros termos da mesma maneira:
(2 (1) + 3) + (2 (2) + 3) + (2 (3) + 3) + (2 (4) + 3) = 5 + 7 + 9 + 11
Este exemplo é uma série finita com uma soma de 32. Ela para no 4º termo. Um exemplo de uma série infinita é mostrado na Figura 2. Observe o sinal de infinito acima da notação de soma. Uma série infinita continua sem fim.
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A série infinita na Figura 2 pode ser expressa da seguinte forma:
3 + 6 + 9 + 12 +…
Fórmula de série aritmética
Podemos encontrar a soma de uma série aritmética finita simplesmente adicionando os termos; no entanto, isso pode se tornar oneroso quando há muitos termos. Precisamos de uma fórmula para nos ajudar a encontrar facilmente a soma de uma série aritmética. Uma fórmula existe e é mostrada na Figura 3:
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A fórmula soma os primeiro e último termos da série e, em seguida, divide a soma por 2. Este cálculo nos dá a média ou média do primeiro e do n º termos. Como se trata de uma série aritmética, esse cálculo também nos dá a média de todos os termos. Em seguida, multiplicamos pelo número de termos, que é expresso como n .
A soma de uma série aritmética infinita não existe. Uma série aritmética infinita continua a adicionar novos termos com um valor absoluto maior do que o termo anterior. Você também pode notar que nossa fórmula na Figura 3 não funcionaria porque não há um último termo!
Encontrar somas
Vejamos alguns exemplos para colocar em prática o que aprendemos.
Exemplo 1
Encontre a soma dos primeiros 20 termos da seguinte série:
3 + 8 + 13 + 18 + 23 +…; a ( n ) = a (20) = 98
Embora esta seja uma série aritmética infinita, somos solicitados a encontrar apenas a soma dos primeiros 20 termos. Portanto, n = 20. Nosso primeiro termo é 3, então a (1) = 3. O 20º termo é 98, então a ( n ) = a (20) = 98. Podemos inserir esses valores na fórmula da soma de uma série aritmética finita:
S (20) = 20 ((3 + 98) / 2))
S (20) = 20 (50,5) = 1.010
Exemplo 2
Encontre a soma da série:
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A notação nos diz que esta é uma série finita com 45 termos, então n = 45. Precisamos encontrar os valores do 1º e 45º termos:
a (1) = 4 (1) + 11 = 4 + 11 = 15
a (45) = 4 (45) + 11 = 180 + 11 = 191
Podemos inserir esses valores na fórmula da soma de uma série aritmética finita:
S (45) = 45 ((15 + 191) / 2))
S ( 45) = 45 (103) = 4.635
Resumo da lição
Uma série aritmética é a soma de uma sequência aritmética. Uma série aritmética pode ser expressa inserindo um sinal ‘+’ entre cada par de números em uma seqüência aritmética. Se você deseja ser mais astuto matematicamente, mostre uma série aritmética usando a notação de soma, também chamada de notação sigma. Finalmente, a soma de uma série aritmética finita pode ser facilmente encontrada usando a fórmula apresentada na lição; lembre-se de que estamos apenas pegando a média do primeiro e do último termos e multiplicando pelo número de termos.