Matemática

Sequências aritméticas: definição e descoberta da diferença comum

O que é uma sequência aritmética?

O que é uma seqüência aritmética ? É uma sequência de números onde cada número é o número anterior mais uma constante, chamada de diferença comum. Pense em uma seqüência aritmética como se você estivesse dando uma festa de doces, onde cada pessoa que comparecer deve trazer duas barras de chocolate. Você já está lá com duas barras de chocolate. A próxima pessoa que vier traz mais duas barras de chocolate. Agora você tem quatro barras de chocolate. A próxima pessoa que vier traz mais duas barras de chocolate. Agora, o seu total é de seis barras de chocolate. Você pode ver um padrão se formando aqui e provavelmente poderá continuar esse padrão por conta própria.

Exemplos de sequência

O exemplo da barra de chocolate mostra a sequência de 2, 4, 6. Podemos terminar aí se apenas dois convidados comparecerem à festa. Mas também poderíamos continuar o padrão indefinidamente, se quiséssemos. Podemos continuar adicionando 2 a 6 para obter 8 e, em seguida, adicionando 2 a 8 para obter 10. Teríamos 2, 4, 6, 8, 10,. . . etc.

Outros exemplos de sequências aritméticas incluem:

1, 2, 3, 4,. . . etc.

2, 5, 8, 11,. . . etc.

3, 5, 7, 9,. . . e assim por diante

Observe como todas essas sequências têm números em que cada número é o número anterior mais uma constante, uma diferença comum.

Encontrando a diferença comum

Podemos calcular a diferença comum para cada uma de nossas sequências pegando quaisquer dois números que estejam próximos um do outro e, em seguida, subtraindo o primeiro do segundo. Podemos repetir com outro par de números para ter certeza de que a diferença é a mesma. Portanto, para nossa primeira sequência de 1, 2, 3, 4,. . ., podemos subtrair o 1 do 2 para obter 2 – 1 = 1. Também podemos subtrair o 2 do 3 para obter 3 – 2 = 1. Veja isso! A diferença comum é a mesma – exatamente o que esperaríamos! Se repetíssemos esse processo com o 3 e o 4, veríamos que ele também tem uma diferença de 1, portanto, essa sequência aritmética tem uma diferença comum de 1.

A segunda sequência, 2, 5, 8, 11,. . ., tem uma diferença comum de 3 porque quando subtraímos 2 de 5, obtemos 3. Também obtemos 3 quando subtraímos 5 de 8 e 8 de 11.

Você pode encontrar a diferença comum para a terceira sequência, 3, 5, 7, 9, etc. . .? Se subtrairmos o 3 do 5 e o 5 do 7, obteremos 2. 7 subtraído do 9 também é 2. Portanto, a diferença comum para esta sequência é 2.

A fórmula

Como temos uma diferença comum entre todos os números em nossa seqüência aritmética, podemos usar essas informações para criar uma fórmula que nos permite encontrar qualquer número em nossa seqüência, seja o décimo ou o quinquagésimo número. Se você pensar sobre isso, cada número em uma sequência aritmética é na verdade o primeiro número mais a diferença comum multiplicada por quantas vezes precisamos soma-lo. Veja, para chegar ao segundo termo, adicionamos a diferença comum uma vez ao primeiro termo:

A diferença comum deve ser adicionada uma vez ao primeiro termo para chegar ao segundo termo.
números para encontrar diferenças comuns

Para chegar ao terceiro termo, precisamos adicionar a diferença comum duas vezes. Uma vez para ir do primeiro para o segundo período, e então mais uma vez para ir do segundo para o terceiro período. Se rotularmos a como nosso primeiro termo ed como nossa diferença comum, nossa seqüência aritmética seria semelhante a a , a + d , a + 2 d , a + 3 d e assim por diante. Se n representa a localização de um número nesta sequência, a fórmula para encontrar qualquer número em nossa sequência é:

Fórmula de sequência aritmética
fórmula de sequência aritmética

Vamos voltar ao nosso exemplo da barra de chocolate para ver se essa fórmula realmente funciona. Nossa sequência para as barras de chocolate começa com 2, 4, 6, 8 e assim por diante. Vamos verificar se a fórmula nos dará o termo certo para o quarto termo. Já sabemos que é 8. Vamos ver se a fórmula nos dá 8 como resposta. Colocamos 4 para n porque estamos procurando o quarto termo, 2 para a porque nossa seqüência começa com 2 e 2 para d, já que 2 é nossa diferença comum.

Conectando tudo isso e resolvendo para x , obtemos 2 + 2 (4 – 1) = 2 + 2 (3) = 2 + 6 = 8. Ei, olhe isso! Temos 8! A fórmula funciona! Portanto, se quisermos descobrir quantas barras de chocolate obteríamos se tivéssemos 50 pessoas na festa, podemos usar esta fórmula para n igual a 50. Nosso a ainda é 2 e nosso d também é 2. Conectando nosso novo n , teremos 2 + 2 (50 – 1) = 2 + 2 (49) = 2 + 98 = 100. Teremos 100 barras de chocolate! Impressionante!

Resumo da lição

Agora que terminamos e temos um monte de barras de chocolate imaginárias, vamos revisar. Uma sequência aritmética é uma sequência de números em que cada número é o número anterior mais uma constante, chamada de diferença comum. Para encontrar a diferença comum, pegamos qualquer par de números sucessivos e subtraímos o primeiro do segundo. Devemos obter essa mesma diferença comum para qualquer outro par de números sucessivos em nossa sequência. A fórmula para encontrar qualquer número em nossa sequência é x sub n igual a a mais d vezes n menos 1, onde n representa a localização do número em nossa sequência, a é o primeiro número de nossa sequência e d é a nossa diferença comum.

Resultados de Aprendizagem

Após esta vídeo aula, você deverá ser capaz de:

  • Defina a sequência aritmética e a diferença comum
  • Sequências aritméticas pontuais
  • Descreva como encontrar a diferença comum
  • Lembre-se da fórmula para encontrar qualquer número em uma sequência aritmética