O conceito de sequência geométrica
Em matemática, uma sequência geralmente significa uma progressão de números com um ponto de partida claro. O que torna uma sequência geométrica é uma relação comum que existe entre quaisquer dois números consecutivos na sequência.
Vamos considerar o torneio de basquete da NCAA. Após as rodadas preliminares, o torneio conta com um field de 64 times. Na rodada de 64, todos os times jogam, portanto serão 32 times eliminados. Em outras palavras, restam 32 times, ou metade do que começamos. Após as oitavas de final, restam 16 times. Novamente, o número de equipes foi reduzido pela metade. Este padrão continua até que haja uma equipe restante. Vamos escrever isso como uma sequência:
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Você vê a relação entre quaisquer dois termos consecutivos? Cada período após o primeiro período é ½ do período anterior. Outra maneira de ver isso é que estamos multiplicando cada termo por ½ para obter o próximo termo na sequência. Observe também que a proporção de qualquer termo e seu termo anterior é ½. Por exemplo, 32/64 = ½ e 2/4 = ½. Isso é chamado de proporção comum da série geométrica e é denotado por r . Essa proporção deve ser verdadeira para qualquer par de termos consecutivos. Caso contrário, a sequência não é uma sequência geométrica.
Este exemplo é uma sequência geométrica finita; a sequência pára em 1. Algumas sequências geométricas continuam sem fim, e esse tipo de sequência é chamado de sequência geométrica infinita.
Identificando Sequências Geométricas
Vejamos outros exemplos de sequências geométricas:
6, 12, 24, 48, 96, …
4, -6, 9, -13,5, …
A primeira sequência tem uma proporção comum de 2:
12/6 = 24/12 = 48/24 = 96/48 = 2
A segunda sequência também é geométrica. Pode ser difícil de ver no início, mas tem uma proporção comum de (-3/2):
-6/4 = 9 / -6 = -13,5 / 9 = -3/2
Vejamos agora algumas sequências que não são geométricas:
1, 4, 9, 16, 25, …
100, 90, 80, 70, 60, …
Em cada sequência, a proporção entre os termos consecutivos não é a mesma. Por exemplo, 4/1 não é igual a 9/4 na primeira sequência. Na segunda sequência, 90/100 não é igual a 80/90.
Regra para uma sequência geométrica
O n ésimo termo de uma sequência geométrica é identificado como um ( n ). Por exemplo, a (1) é o primeiro termo da sequência e a (7) é o sétimo termo da sequência. Para ir de um termo de uma sequência para o próximo, precisamos multiplicar o termo anterior pela razão comum r . A regra para encontrar o n º termo de uma sequência é:
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Observe que o primeiro termo a (1) é multiplicado por r elevado à potência de (1 – 1) ou zero. Qualquer número elevado a zero é 1, então estamos apenas multiplicando o primeiro termo por 1. À medida que calculamos cada termo seguinte, continuamos multiplicando por r . O sétimo termo seria a (1) multiplicado por r seis vezes ou r ^ 6.
Escrevendo uma regra para uma sequência geométrica
Vamos escrever uma regra para o n º termo da seqüência geométrica seguinte:
3, 15, 75, 375, 1875, …
O primeiro termo é a (1) = 3. A razão comum r formada pelo uso de qualquer par de termos consecutivos é 15/3 = 5. Podemos substituir esses valores na regra geral para uma sequência geométrica:
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Agora que temos uma regra para esta sequência, podemos encontrar facilmente qualquer termo da sequência. Vamos encontrar um (9):
a (9) = 3 (5) ^ (9 – 1)
a (9) = 3 (5) ^ 8
a (9) = 1.171.875
Vamos escrever uma regra para o n ésimo termo de uma sequência geométrica com uma razão comum de 6 e uma (3) = 72.
Recebemos r , mas precisamos encontrar a (1).
a ( n ) = a (1) r ^ ( n – 1) (escreva a regra geral)
a (3) = a (1) r ^ (3-1) (substitua n por 3)
72 = a (1) 6 ^ 2 (substitua a (3) e r )
2 = a (1) (resolva para a (1))
Agora podemos escrever a regra:
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Resumo da lição
Uma seqüência geométrica é formada pela multiplicação de cada termo precedente pelo mesmo fator, que chamamos de razão comum r . Quando dada a regra para uma sequência geométrica específica, o primeiro termo a (1) da sequência e a razão comum r da sequência podem ser claramente identificados. Quando não é fornecida a regra para uma sequência geométrica específica, a regra pode ser encontrada com apenas alguns cálculos, dadas as informações apropriadas.